2024-2025学年上海中学高三上学期数学周测1及答案（2024.09）.docx

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上海中学2024学年第一学期高三年级数学周测一

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，，则________．

2．若的展开式的常数项为45，则的值为________．

3．已知函数，则________．

4．已知，则的值为________．

5．已知，，，则________．

6．已知，则________．

7．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有4个元素，则中的所有元素之积为________．

8．已知向量，为单位向量，且，向量与平行，则的最小值

为________．

9．已知实数，满足，则的取值范围是________．

10．向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”．现有4个命题：①集合是“凸集”；②若是“凸集”，则集合也是“凸集”；

③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；

④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”

其中所有正确命题的序号是________．

11．已知双曲线的左右焦点分别是，，直线与的左、右支分别交于（,均在轴上方）．若直线，的斜率均为，且四边形的面积为则的值为________．

12．设函数图像上任意—点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是________．

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（）．

A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1

C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7

14．如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于，两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于，两点，且，则的最小值为（）．

A．3 B．4 C．5 D．6

15．数列中，，，记，，则（）．

A． B．

C． D．

16．在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（）．

A． B．8 C． D．

三、解答题(共5道大题,共76分)

17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)

中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）已知，为边上一点，若，，求的长．

18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)

如图，直三棱柱的体积为1，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)

五月初某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文篮选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过则征文通过筛选；若均审核不通过则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响．

（1）已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；

（2）从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为，求的分布和期望．

20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第

(3)小题满分6分)

设直线与抛物线交于两点，，且．是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，导到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、，得到和；按此方法继续下去．

（1）用，表示；

（2）用表示三角形的面积；

（3）根据以上结果，求抛物线与线段所围成封闭图形的面积．

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21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数．

（1）若，且，求的最小值；

（2）证明：曲线是中心对称图形；

（3）若当且仅当，求的取值范围．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.-8;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.①②④；11.12.