大招3分组分配问题（含答案解析）.docx

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大招3??分组分配问题

将不同元素分组，分组后根据需要分配的问题我们称为分组分配问题．

1．分组分配问题的基本模型

①无主体分组：如将4本不同的书分成两堆，每堆2本或将4本不同的书分成两堆，一堆3本、一堆1本．（只是进行分组，不分配）

②有主体等分配：如将4本不同的书分给甲、乙两人，每人2本．（分组后分配，存在元素数量相同的组）

③有主体不等分配：如将4本不同的书分给甲、乙两人，一人3本、一人1本．（分组后分配，每组元素数量不同）

2．有顺序与无顺序之间的转换：

①将原本没有顺序的n个元素，变成一个有顺序的n个元素，需要乘；

②反之将原本有顺序的n个元素，变成一个没有顺序的n个元素，需要除以．

3．如何获得元素的主体间的顺序：

①若主体间获得元素个数不同，则主体之间有差异，因此主体之间是有顺序的；

②若主体间获得元素个数相同，则主体之间没有差异，因此主体之间是没有顺序的．

【典例1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？

【大招指引】先利用组合知识和分步乘法计数原理得到有区别的三堆，再除以.

【解析】先从6本书中任取2本，作为一堆，有种取法，再从余下的4本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的4本书中取2本作为一堆，有种取法，所以不同的分堆方法的种数为.

【题后反思】本题将6本不同的数平均分成3三堆，因为这三组无区别，所以要除以.

【温馨提醒】对于将n个不同的元素进行无主体分组的问题，按照下列步骤处理：

第一步：将n个不同的元素分成有顺序的若干堆；

第二步：将有顺序的物品堆转换为无顺序的物品堆；

第三步：根据乘法计数原理，计算出不同分法的种数．

【举一反三】

1．本不同的书，分成三堆，一堆本，一堆本，一堆本，有种分法

【典例2】现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分法的种数是______．（用排列数、组合数表示）

【大招指引】先按有区别进行分组，再进行分配（即6个元素的全排列），进而根据无顺序差异的组数进行求解.

【解析】先将10本书分成有顺序的6堆，其中第1堆为3本书，第2、3堆为2本书，第4、5、6堆为l本书，则有种情况，然后将甲、乙、丙等六人也进行排序，有种情况，而得2本书的两人和得1本书的三人并无顺序差异，因此要除以个，再除以个去序．综上所述，不同分法的种数是．

【题后反思】因为得2本书的两人和得1本书的三人并无顺序差异，因此要除以，进行去序.

【温馨提醒】对于将n个不同的元素进行有主体分配的问题，按照下列步骤处理：

第一步：将n个不同的元素分成有顺序的若干堆；

第二步：排列获得元素的主体的顺序；

第三步：根据乘法计数原理，计算出不同分法的种数

【举一反三】

2．现在4本不同的书，按以下方式进行分配．

（1）分成两堆，每堆2本，则有种分法；

（2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有种分法；

（3）分给甲、乙两人，每人2本，则有种分法；

（4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有种分法．

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（????）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

4．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山?黄山?庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（????）

A．564 B．484 C．386 D．640

5．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（????）

A．140 B．150 C．200 D．220

6．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（????）

A．105种 B．144种 C．150种 D．210种

7．我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校