山西省大同市2025届高三第一次学情调研监测数学试题（原卷版）.docx

大同市2025届高三年级第一次学情调研测试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上相应的位置.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

5.本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，则下面图中阴影部分表示的集合为（）

A. B.

C. D.

2已知向量，若，则等于（）

A.1或 B. C.或 D.

3.已知，且满足，则（）

A. B. C. D.

4.函数，若实数满足，则（）

A.2 B.4 C.6 D.8

5.五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟?古城华严寺?北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（）

A.360 B.640 C.1350 D.1440

6.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（）

A. B. C. D.1

8.已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（）

A B.

C. D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

9.已知复数，下列说法正确的是（）

A.若，则 B.

C. D.

10.如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（）

A.

B.

C.直线与所成角正切值为2

D.直线与所成角正切值为

11.某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（）

A.顾客甲获得100元纪念品的概率为

B.顾客甲获得50元纪念品的概率为

C.已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为

D.已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为.

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是__________层，样本中层的男生人数为__________人.

13.展开式中的系数为__________.

14.设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.记的内角的对边分别为.已知，点是边的中点，

（1）证明：；

（2）求.

16.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.

（1）求证：；

（2）若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.

17.为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲?乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲?乙两人解答每道题目相互独立，现甲?乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答：

（1）求甲?乙共答对2道题目的概率；

（2）设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望；

（3）从期望和方差角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？

18.平面直角坐标系中，已知椭圆离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的