5.3.1 函数的单调性2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (人教A版2019).docx

5.3.1函数的单调性2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)

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教学内容

2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）第5章“导数及其应用”的第3节“导数与函数的单调性”的第1小节。本节课主要内容包括：

1.函数单调性的定义与性质；

2.利用导数判断函数的单调性；

3.通过具体例题，学会运用导数分析函数的单调区间；

4.解决实际问题，如最值问题，涉及函数的单调性分析。

核心素养目标

1.培养学生运用数学语言表达函数单调性的能力；

2.发展学生运用导数工具分析函数性质，解决问题的逻辑思维；

3.提升学生通过数学抽象，建立数学模型解决实际问题的素养；

4.增强学生独立探究和合作交流，发展数学运算和数据分析的能力。

教学难点与重点

1.教学重点：

①函数单调性的概念理解及其与导数的关系；

②利用导数判断函数单调性的方法与步骤；

③结合具体函数图像，理解单调性与导数符号的关系。

2.教学难点：

①函数单调性定义中的“任意性”和“单调区间”的理解；

②处理分段函数、复合函数的单调性分析；

③在实际问题中，如何准确运用导数确定函数的单调区间；

④对于导数为零的点及其左右的单调性变化进行准确判断。

教学方法与策略

1.采用讲授与讨论相结合的方式，讲解函数单调性的概念及判断方法，并引导学生进行小组讨论，深化理解。

2.设计案例研究和问题解决活动，让学生通过分析具体函数例子，动手实践，增强对单调性判断的应用能力。

3.利用多媒体教学资源，如函数图像演示软件，帮助学生直观理解单调性与导数之间的关系，以及在实际问题中的应用。

教学流程

1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过复习函数的增减性引入新课，提问学生已知的函数图像特点，引导学生思考如何利用数学工具研究函数的单调性，从而自然过渡到本节课的主题——函数的单调性与导数的关系。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

①讲解函数单调性的定义，通过几个简单函数的图像，让学生直观理解单调递增和单调递减的概念；

②引入导数的概念，讲解如何通过导数的符号判断函数的单调性，强调导数为正时函数递增，导数为负时函数递减；

③通过具体例题，如f(x)=x^2在x0时单调递增，在x0时单调递减，演示如何利用导数确定函数的单调区间。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

①让学生独立完成教材中的练习题，如判断给定函数的单调区间；

②学生在计算机上使用函数图像软件，观察改变函数参数对函数单调性的影响；

③要求学生举例说明如何将导数应用于实际问题中，如最优化问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

①学生分组讨论，如何判断分段函数的单调性，举例回答如f(x)={x+1,x0;x^2,x=0}；

②讨论复合函数的单调性，举例回答如f(x)=sin(x)在x∈[0,π]上的单调性；

③探讨导数为零的点在判断函数单调性中的作用，举例回答如f(x)=x^3在x=0处的单调性变化。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：教师引导学生回顾本节课的主要内容，强调函数单调性与导数的关系，总结判断函数单调性的步骤，并通过一道综合题目检验学生对知识点的掌握情况。同时，布置课后作业，巩固学生对单调性判断方法的运用。

知识点梳理

1.函数单调性的定义与性质

-函数在某一区间内，如果对于任意两个自变量值x1和x2（x1x2），都有f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间内单调递增；

-如果对于任意两个自变量值x1和x2（x1x2），都有f(x1)≥f(x2)，则称函数在该区间内单调递减；

-函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的子区间；

-函数的单调性是描述函数值随自变量增大或减小而增大或减小的趋势。

2.导数与函数单调性的关系

-如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数f(x)0，则f(x)在该区间内单调递增；

-如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数f(x)0，则f(x)在该区间内单调递减；

-如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数f(x)=0，则该点可能是函数的极值点，需要进一步判断。

3.利用导数判断函数单调性的步骤

-求出函数f(x)的导数f(x)；

-确定f(x)的符号变化区间；

-根据f(x)的符号，判断函数f(x)的单调区间。

4.函数图像与单调性的关系

-在函数图像上，单调递增区间表现为曲线上升，斜率为正；

-在函数图像上，单调递减区间表现为曲线下降，斜率为负；

-通过观察函数图像，可以直观判断函数的单调性。

5.分段函数