人教版小学数学五年级下册奥数培训教材.pdf

第一讲分解质因数

（2课时）

【学习导航】

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，

75=3×5×5。

分解质因数，是为数学课本上介绍的求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个

自然数分解成几个质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而有助于

我们顺利解题。

一个质数的因数只有两个：1和它本身。1既不是质数，也不是合数。2是最小的质数，

同时也是一个偶数。注意：在所有的质数中，只有一个偶数，那就是2，正因为如此，两个

质数之和不一定是偶数，两个质数之积不一定是奇数，这个特性经常成为解题的突破口。

例1

有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分

法？

【思路导航】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也

不能多于50颗，所以，

从这5个质因数中任选1个，不符合要求；

从这5个质因数中任选2个：每份有2×7=14颗，3×7=21颗；

从这5个质因数中任选3个，每份有2×2×3=12颗，2×2×7=28颗，2×3×7=42颗；

从这5个质因数中任选4个，每份有2×2×2×3=24颗；

从这5个质因数中任选5个，不符合要求；

故共有6种分法。

试一试

把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之

间，求每组的人数及分成的组数。

例2

将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

【思路导航】14=2×755=5×11

1

24=2×2×2×356=2×2×2×7

27=3×3×399=3×3×11

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这

八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个

11。故分成的两组为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。

试一试

下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算

式。

□□×□□=1288

例3

王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，

那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

【思路导航】根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如

果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48

人。

试一试

3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和

同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。

例4

下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。

□□×□□=1995

【思路导航】要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的

质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不

相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。

2

试一试

在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立，要求写出所有的情况。

□□□×□=1995

例5

三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？

【思路导航】三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。80－2=78，剩下两个质数

的和是78，而且要使它们的积最大，只能是4