湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测（一）数学试题.docx

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）

数学试卷

时量：120分钟总分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合,集合,则（）

A．B．C．D．

2．已知复数z满足,则复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件有8个样本点，则（）

A．B．C．D．

4．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（）

A．B．C．1D．3

5．已知的展开式中的系数为80，则m的值为（）

A．B．2C．D．1

6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则的最小值为（）

A．B．C．D．4

7．设,则下列关系正确的是（）

A．B．C．D．

8．已知，则（）

A．B．C．D．

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为,则下列说法正确的是（）

A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级

B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①;②；③平分;④点P关于原点对称的点为Q,且,能使双曲线C的离心率为的条件组合可以是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④

11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到,则（）

A．圆柱的侧面积为B．当时，

C．当时，异面直线与所成的角为D．面积的最大值为

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．如图，某景区共有A,B,C,D,E五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．

13．已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为___________．

14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A，B,点C是曲线E上的一点，满足和的重心分别为的外心为R,记直线的斜率为,若，则双曲线E的离心率为___________．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（13分）

设函数．

（1）若,求函数的单调区间；

（2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围（其中e是自然对数的底数）

16．（15分）

如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面为线段的中点，且．

（1）求证：平面;

（2）若,直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

17．（15分）

软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：

书体

楷书

行书

草书

隶书

篆书

人数

24

16

10

20

10

（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．

认真完成

不认真完成

总计

男生

a

女生

总计

60

若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．

（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X,求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：．

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

18．（17分）

已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，且到的距