湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一） 数学试题.docxVIP

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一）

数学

得分__________

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合，，若，则（）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，的取值范围为（）

A． B． C． D．

★3．在中，若，则（）

A．1 B． C． D．

★4．若函数的最大值为，最小值为，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

★5．已知点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）

A．，且直线，是相交直线

B．，且直线，是相交直线

C．，且直线，是异面直线

D．，且直线，是异面直线

6．的值为（）

A． B． C．3 D．

7．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（）

A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1

C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7

8．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（）

A．10 B．55 C．89 D．99

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9．已知一组样本数据，，…，，下列说法正确的是（）

A．该样本数据的第60百分位数为

B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数

C．剔除某个数据（，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差

D．若，，…，的均值为2，方差为1，，，…，的均值为6，方差为2，则，，…，的方差为5

★10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（）

A．抛物线方程为 B．是的重心

C． D．

11．已知函数（，，），是的导函数，则（）

A．“”是“为奇函数”的充要条件

B．“”是“为增函数”的充要条件

C．若不等式的解集为且，则的极小值为

D．若，是方程的两个不同的根，且，则或

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12．点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________．

★13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值_________．

14．若函数在上单调递增，则的取值范围是_________．

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

★15．（本小题满分13分）

的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，满足．

（1）求；

（2）若角的平分线交边于点，长为2，求的面积的最小值．

16．（本小题满分15分）

如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的余弦值．

★17．（本小题满分15分）

双曲线：（，）的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形．

（1）求双曲线的方程；

（2），是右支上的两动点，设直线，的斜率分别为，，若，求点到直线的距离的取值范围．

18．（本小题满分17分）

已知函数，．

（1）当时，求的极值；

（2）若函数有2个不同的零点，．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

19．（本小题满分17分）

已知集合（，），，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集．

（1）若，写出的所有子集；

（2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得．求的值；

（3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值．

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一）

数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

D

C

C

B

B

A

D

C

BC

BCD

ACD

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

7．D【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数，

则共18个基本事件，则，

设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误；

设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误；

设事件为两次朝上面的数字之和是8，

则共5个基本事件，则，

且，则，

，所以C错误；

设事件为两次朝上面的数字之和是7，则，

则，且，则，

因为，