江苏省宿迁市宿迁中学2025届高三上学期8月月考数学试题（原卷版）.docx

高三年级学业质量检测（二）

数学试题

试卷满分（150分）考试时间（120分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.集合，，则（）

A. B. C. D.

2.设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（）

A. B.

C. D.且

3.记，则（）

A. B.

C D.

4.已知函数，下列函数是奇函数的是（）

A. B. C. D.

5.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（）

A. B.8 C. D.

6.下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（）

A. B. C. D.

7.已知奇函数在上可导，其导函数，且恒成立，则（）

A.1 B. C.0 D.

8.设方程的两根为，，则（）

A.， B.

C. D.

二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

10.已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（）

A.

B.4是函数的一个周期

C.

D.在区间上至少有1012个零点

11.如图，矩形ABCD中，M为BC中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.不存在某个位置，使得

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若，则

D.若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.曲线在处切线方程为_______．

13.已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________．

14.已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______．

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围；

（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

16.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且.

（1）求证:平面平面;

（2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值.

17.已知函数，其中.

（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;

（2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.

18.某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：

表1未成年男性身高与体重平均值

身高/cm

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

体重平均值/kg

直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．

表2拟合函数对比

函数模型

函数解析式

误差平方和

指数函数

二次函数

幂函数

（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；

（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；

（3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．

注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．

19.已知函数，．

（1）若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围；

（2）当时，恒成立，求正实数的最大