辽宁省丹东市第四中学2024-2025学年高三上学期期初考试 数学模拟试题（含解析）.docx

辽宁省丹东四中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题

高三数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合的真子集的个数为（）

A．3 B．4 C．7 D．8

2．已知，为非零实数，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设是等比数列的前项和，若，，则（）

A．2 B． C．3 D．

4．已知函数的图象在点处的切线斜率为2，则（）

A． B．1 C． D．2

5．已知连续型随机变量，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

6．已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（）

A． B． C． D．

7．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有．某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件，其概率为．则的最大值为（）

A． B． C． D．

8．若关于的不等式有且只有一个整数解，则正实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知正实数，满足，则（）

A．的最大值为2 B．的最小值为1

C．的最大值为2 D．的最小值为1

10．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）

A． B．

C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是

11．已知函数，则（）

A．在区间上单调递增

B．当时，取最小值

C．对，，为增函数

D．对，

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．

12．曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．

13．已知实数，满足，，，则的最小值为______．

14．数列满足，若对任意，所有的正整数都有成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分15分）

已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

16．（本小题满分15分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

17．（本小题满分15分）

已知数列前项和为，且，记．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求．

18．（本小题满分17分）

当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表．

1

2

3

4

5

6

0.5

1

1.5

3

6

12

0

0.4

1.1

1.8

2.5

（1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）

（2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少？

经验回归方程

残差平方和

18.29

0.65

参考公式及数据：，，，，，，，，．

19．（本小题满分17分）

已知函数．

（1）若，求证：当时，．

（2）若有两个不同的极值点且．

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：．

高三数学

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【分析】简化A即可得到集合A共有7个真子集．

【详解】解：由题意得：

，

其真子集有：，，，，，，，共7个．

故选：C．

2．【答案】A

【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案．

【详解】当时，，同号且非零，则，所以．

当时