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山西省省际名校2025年高三十六模数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()
A. B. C. D.
2.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()
A. B.2
C. D.
3.已知实数满足不等式组,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.已知集合,,若,则()
A.4 B.-4 C.8 D.-8
5.在中,内角的平分线交边于点,,,,则的面积是()
A. B. C. D.
6.已知边长为4的菱形,,为的中点,为平面内一点,若,则()
A.16 B.14 C.12 D.8
7.已知集合,集合,则().
A. B.
C. D.
8.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()
A. B.
C. D.
10.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11.若(是虚数单位),则的值为()
A.3 B.5 C. D.
12.已知斜率为的直线与双曲线交于两点,若为线段中点且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()
A. B.3 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.
14.已知正四棱柱的底面边长为,侧面的对角线长是,则这个正四棱柱的体积是____.
15.已知函数为奇函数,则______.
16.在平面直角坐标系中,双曲线(,)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若为直角三角形,则该双曲线的离心率是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.
18.(12分)已知抛物线,直线与交于,两点,且.
(1)求的值;
(2)如图,过原点的直线与抛物线交于点,与直线交于点,过点作轴的垂线交抛物线于点,证明:直线过定点.
19.(12分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.
(1)试用x,y表示L;
(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?
20.(12分)如图,在四棱锥中,四边形为正方形,平面,点是棱的中点,,.
(1)若,证明:平面平面;
(2)若三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
21.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,点、分别为,的中点,且平面平面.
(1)求证:平面.
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)设前项积为的数列,(为常数),且是等差数列.
(I)求的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)设是数列的前项和,且,求的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
2.A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO=,再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为A
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