2.2基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

新教材必修第一册2.2：基本不等式

课标解读：

基本不等式.（理解）

利用基本不等式求最值.（理解）

基本不等式的应用.（理解）

学习指导：

注意从数与形的角度审视基本不等式，体会数形结合思想的应用.

通过“积定”与“和定”来把握最值定理并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的.

注重基本不等式的变形，体会其特征，强化记忆.

知识导图：

教材全解

知识点1：基本不等式（重点）

1.重要不等式

，有，当且仅当时，等号成立.

证明：，当且仅当时，等号成立.

2.基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立.

其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.

例1-1：设，则下列不等式中正确的是（）.

A.B.

C.D.

答案：B

例1-2：判断下列两个推导过程是否正确：

（1）；

（2）

答案：（1）推导错误，不符合基本不等式的条件；（2）推导正确.

知识点2：最值定理（重点）

已知都是正数，

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值

（2）如果和等于定值，那么当时，积最大值

最值定理简记为：和定积最大，积定和最小.

例2-3：若，则函数（）.

A.有最大值-4B.有最小值4C.有最大值-2D.有最小值2

答案：B

例2-4：已知，且，则的最大值为（）.

80B.77C.81D.82

答案：C

例2-5：，使得，则实数的取值范围是（）.

A.B.C.D.

答案：B

想一想：使得，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

答案：D

重难拓展

知识点3：基本不等式的证明方法的探究

分析法和综合法：

分析法：要证，即证，即证，即证.当且仅当时，等号成立.

综合法（将分析法的过程倒过来叙述）：

∵∴，即，即，当且仅当时，等号成立.

思考：你还有其他证明不等式的方法吗？

例3-3：已知均为正数，，求证：.

答案：要证

只需证

即证

即证

即证

即证

即证，由已知可得，不等式显然成立.

故

知识点4：基本不等式的变式与拓展

1.基本不等式链

若，则，当且仅当时，等号成立.其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.其几何意义如图所示：

特别提醒：1.上述不等式链内涵丰富，在实际运用中相对基本不等式等位广泛，但它们都是在基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式（重要不等式）加以证明.

2.一般来说，一下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态：

①②

③④

2.一个热点基本不等式

若，则，当且仅当时，等号成立.

证明：∵，

∴，当且仅当，即时等号成立.

例4-7：若，证明：.

答案：（1）由，得，

∴，当且仅当时，等号成立.

（2），当且仅当时，等号成立，已证.

（3）.

∵（当且仅当时，等号成立），

∴（当且仅当时，等号成立）.

综上：.

例4-8：已知，其中，则的最小值为.

答案：

例4-9：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）.

2B.4C.6D.8

答案：B

题型与方法

题型1：利用基本不等式判断命题真假

例10：下列不等式一定成立的是（）

A.B.

C.D.

答案：C

题型2：利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧

例11：的最小值为.

答案：8

例12：若为正数，则的最小值为.

答案：4

例13：已知，则的最大值为.

答案：

例14：已知实数满足，且=1，则的最小值为（）

2B.4C.6D.8

答案：D

例15：已知，则的最小值为.

答案：4

变式训练1：已知正数满足，则的最小值是.

答案：9

题型3：基本不等式在实际问题中的应用

例18：如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左、右两个矩形栏目