1.5全称量词与存在量词-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

新教材必修第一册1.5：全称量词与存在量词

课标解读：

全称量词的定义.（理解）

存在量词的定义.（理解）

全称量词命题的否定.（理解）

存在量词命题的否定.（理解）

学习指导：

本节的重点是对全称量词和存在量词的理解，难点是对含有一个量词的命题的否定.

本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词与存在量词的不同表示方法，并能够熟练运用其表示符号.

知识导图：

教材全解

知识点1：全称量词与全称量词命题（重点）

1.全称量词与全称量词命题

全称量词

定义

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词

符号表示

全称量

词命题

定义

含有全称量词的命题叫做全称量词命题

一般形式

对于中任意一个成立（说明：表示变量的取值范围）

符号表示

2.全称量词命题的真假判断

（1）要判定全称量词命题“”是真命题，需要对集合中每一个元素，证明成立；

（2）要判定全称量词命题“”是命题，只需举一个反例，即如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.

例1-1：指出下列命题中的量词，判断其是否为全称量词

所有人都是黄皮肤；

一切素数都是基础；

凡是我们学校的学生都要住校.

答案：（1）中的“所有”，（2）中的“一切”，（3）中的“凡是”，都是全称量词.

例1-2：下列语句中既是命题又是全称量词命题的是.

对任意实数，

有一个实数，不能取对数；

每一个向量都有方向吗？

答案：（1）（2）是命题，（3）不是命题，其中（1）中含有全称量词，所以（1）是全称量词命题，故选（1）.

例1-3：用量词符号表示下列全称量词命题：

任一个实数乘以-1都等于它的相反数；

对任意实数，都有

答案：（1）

知识点2：存在量词与存在量词命题（重点）

1.存在量词与存在量词命题

存在量词

定义

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词

符号表示

全称量

词命题

定义

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题

一般形式

存在中的元素成立（说明：表示变量的取值范围）

符号表示

2.存在量词命题的真假判断

（1）要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；

（2）要判定一个存在量词命题是假命题，需对集合M中任意一个元素，证明都不成立.

例2-4：用符号“”表示下列存在量词命题：

存在一个实数对，使成立；

至少有一个整数，使；

有些整数既能被2整除，又能被3整数；

某个四边形不是平行四边形.

答案：（1）

既能被2整除，又能被3整除.

{是四边形}，不是平行四边形.

例2-5：下列语句中，是全称量词命题的是,是存在量词命题的是.

①菱形的四条边都相等；

②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；

③负数的立方根不等于0；

④至少有一个负整数是奇数；

⑤所有的有理数都是实数吗？

答案：①②③④

知识点3：全称量词和存在量词命题的否定（重点）

1.命题的否定

（1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这个新的命题称为原命题的否命题.命题的否定可用“”来表示.

（2）命题的否定与原命题的真假关系

命题的否定与原命题的真假性可用下表（真值表）表示：

命题

真

假

假

真

因此，的否定的真假性可用一句话概括——的否定与“一真一假”.

（3）常见词语的否定词语：

原词

等于（=）

大于（）

小于（）

是

都是

至多有一个

至多有个

至少有一个

否定

不等于

（≠）

不大于

（≤）

不小于

（≥）

不是

不都是

至少有两个

至少有个

一个也没有

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

命题类型

全称量词命题

存在量词命题

形式

否定形式

结论

全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词的否定是全称量词命题

例3-6：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

2,3都是8的约数

2020年是闰年.

答案是假命题.

2,3不都是8的约数，是真命题.

2020年不是闰年，是假命题.

例3-7：试写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）6是2或3的倍数；

（2）6是2和3的倍数.

答案（1）否命题：6不是2的倍数且6不是3的倍数是假命题.

（2）否命题：6不是2的倍数或6不是3的倍数，是假命题.

例3-8：（1）命题“对于任意的”的否定是（）

不存在

存在

对任意的

存在

（2）命题“”的否定是（）

A.

B.不存在

C.对任意的

D.对任意的

答