高中数学分式方程知识点总结.pdfVIP

高中数学分式方程知识点总结

本篇文章为同学们整理了高中数学分式方程知识点，文章中包括：

分式方程的认识、分式方程的解法、分式方程无解、分式方程中的字

母参数问题，高中生必看。

一、分式方程的认识

什么是分式方程呢?分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的概念比较简单，分母中是否含有未知数是判断分式方

程的重要依据。判断分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形。

在分式方程的判断中需要注意圆周率π是数值。不是字母，也就

是说，分母中含有π的方程不一定是分式方程。

二、分式方程的解法

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程再解答，体现

了转化的思路。

解分式方程一般包含以下基本步骤：

①观察分式方程的特征，注意看分母，能分解因式的先分解，然

后去寻找最简公分数。

找最简公分母的方法：将每个分母分解因式，找出所有出现因式

的最高次幂，它们的积为最简分母的因式。

②去分母，给分式方程中的每一项都乘最简公分母，再约分，把

原方程转化为整式方程;

注意：去分母时要给每一项都乘以最简公分母，不含分母的项不

要忘乘最简公分母。

③解这个整式方程，得到整式方程的解;

这一步一般需要运用到整式的乘法、合并同类项、解一元一次方

程或一元二次方程等知识点，之前的基础不牢固的话，需要先去复习

巩固。

④验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值

不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解;否则这个分式方程无

解，x的值是这个分式方程的增根。

验根很容易被忽视，最终的解只是分式方程化为整式方程之后的

解，不一定能满足分式方程的分母不为0这个条件，所以需要验根。

看一道例题：

观察这个分式方程，发现分母能分解因式，所以在寻找最简公分

母之前，先分解因式：

最简公分母为(x-1)(x+1)，

分式方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不要忘记给常数项

1也乘以最简公分母。

熟练之后，以上两步可以合并。

化为整式方程之后，进行下一步的计算，

整式乘法、

移项

合并同类项：

最终结果为：

别忘了验根，可以将x的值代入分别代入原分式方程左右两边看

是否相等;也可以将x的值代入最简公分母中，检验最简公分母是否

为0。

在本题中，将x=1/2中，经检验，最简公分母不为0，所以x=1/2

是远分式方程的解。

三、分式方程无解

在解分式方程的最后一步需要验根，把整式方程的根代入最简公

分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根;使最简公分母等

于零的值是原方程的增根。

分式方程的增根需要满足两个条件：

▲①增根能使最简公分母等于0.

▲②增根是去分母后所得整式方程的根.

为什么会产生增根呢?

增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的.

根据方程的同解原理，方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0

的数，所得的方程是原方程的同解方程。

如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是

同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即原分式方程无解。

看下面的这道题目：

验根，将x=-1代入最简公分母x(x+1)中，计算发现最简公分母

为0，则x=-1是原分式方程的增根，原分式分析无解。

四、分式方程中的字母参数问题

先来看看分式方程中涉及字母参数的两种问题:

1、分式方程有增根，求字母参数的值。

根据增根的概念，增根是原分式方程化成的整式方程的解，即所

化为的整式方程是有解的;这个解会让最简公分母为0.

观察原分式方程，可得最简公分母为x-2，分母中的(x-2)和(2-x)

可以相互转化，

有增根，说明了最简公分母x-2=0，则可得x=2，求出了分式方

程化为整式方程之后的解。

接下来，解原分式方程即可，注意将字母参数k先当成数字，

将x=2代入最后的式子中可得到关于k的方程，解方程可得k=1.

也可以在去分母之后直接将x=2