2.2.1 基本不等式的解释和证明【课时教学设计】（赖海波） -高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）.docx

2.2基本不等式

第1课时基本不等式的解释和证明

教学内容

基本不等式的含义和证明。

（二）教学目标

1.经历基本不等式的发现归纳过程，能从具体中抽象出基本不等式，体会数学的一般性，发展学生数学抽象素养。

2.经历基本不等式的证明过程，能用分析法证明不等式，体会数学的严谨性，发展学生逻辑推理、数学运算素养。

3.通过寻找基本不等式的几何解释，能理解基本不等式的几何直观，体会数形结合思想，发展直观想象的素养；

4.利用基本不等式求简单的最值问题，能把握基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，体会数学的灵活性，发展数学运算素养。

（三）教学重点及难点

1.重点：基本不等式的定义，证明和几何解释。

2.难点:基本不等式的证明。

（四）教学过程设计

1.情境引入，提出问题

（1）欧拉与羊圈的故事：

小欧拉曾经因为星星的事情被教会学校开除，回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情?”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了，太小了。小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：现在，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。

【设计意图】讲数学家故事，渗透德育文化，激发学生数学学习兴趣和积极性。

（2）回顾上一节课的内容——“重要不等式”：

多媒体展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源。

师生活动：我们把会标抽象成在正方形中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为。这样4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就等到一个不等式

追问1：如果用代替，用代替，得到，即=1\*GB3①，当且仅当时，等号成立。我们称不等式=1\*GB3①为基本不等式。

具体演算，总结规律

当分别取下列值时，基本不等式成立吗？

当，（2）当，（3）当。

师生活动：学生亲自运算检验，体会不等式的成立。

【设计意图】利用实际问题抽象出不等式模型，在通过字母代换等到基本不等式模式，最后用具体数值验证，加深对基本不等式的认识。

教师总结：其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b

【设计意图】通过分析基本不等式的结构特征得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识，多种方法下，培养学生的发散思维。

公式证明，形成概念

问题2.我们通过考察a2

师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式。教师在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程。

教师:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止。

分析法解题过程如下:

要证ab≤a+b2=1\*GB3①

只要证2

要证=2\?GB3②，只要证2ab?a?b≤0.=3\*GB3③

要证=3\*GB3③，只要证?(a?b)2≤0=4\*GB3④

要证=4\*GB3④，只要证(a?b)2≥0=