2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）.docx

2.2基本不等式

【考点梳理】

考点一：基本不等式

1．如果a0，b0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

考点二：用基本不等式求最值

用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值应注意x，y是正数；

(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

【题型归纳】

题型一：基本不等式的内容及其注意

1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（???????）

已知，求的最小值；解答过程：；

求函数的最小值；解答过程：可化得；

设，求的最小值；解答过程：，

当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．已知，，则下列式子一定成立的是（???????）

A． B． C． D．

3．现有以下结论：

①函数的最小值是；②若、且，则；

③的最小值是；④函数的最小值为.

其中，正确的有（???????）个

A． B． C． D．

题型二：由基本不等式比较不等式的大小

4．若，，，则下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．

C． D．

5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（???????）

A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q

C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P

6．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

题型三：基本不等式求积的最大值

7．若a，b都为正实数且，则的最大值是（???????）

A． B． C． D．

8．设正实数满足，则的最大值为（???????）

A． B． C． D．

9．下列说法正确的是（???????）

A．若，则函数的最小值为3

B．若，，，则的最小值为5

C．若，，，则xy的最小值为1

D．若，，，则的最小值为

题型四：基本不等式求和的最小值

10．设，，且，则的最大值为（???????）．

A． B． C． D．

11．已知，则的最小值是(???????)

A．5 B．4 C．8 D．6

12．已知，，且，则下列结论正确的是（???????）

①???????②的最小值为16???????③的最小值为8???????④的最小值为2

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④

题型五：二次商式的最值问题

13．函数的值域为（???????）

A． B． C． D．

14．已知正实数x，则的最大值是（???????）

A． B． C． D．

15．函数（）的最小值为（???????）

A． B． C． D．

题型六：基本不等式“1”的妙用

16．若，，且，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

17．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，，且，则的最小值为（???????）

A．10 B． C． D．20

18．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（???????）

A．4 B．6 C．8 D．9

题型七：基本不等式的恒成立求参数问题

19．已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

20．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（???????）

A． B． C． D．

21．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

题型八：对勾函数最值问题

22．下列关于基本不等式的说法正确的是（???????）

A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2

C．已知，则的最小值为D．若正数满足，则的最小值是3

23．下列函数中，最小值是的是（???????）

A． B．

C． D．

24．若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

题型九：基本不等式的实际问题的应用

25．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（?????）

A．如果积等于定值，那么当时，和有最大值

B．如果和等于定值，那么当时，积有最小值

C．如果积等于定值，那么当时，和有最小值

D．如果和等于定值，那么当时，积有最大值

26．两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（???????）

A．