湖南省衡阳市船山英文学校2024-2025学年高三上学期入学考试 数学试卷（含解析）.docx

衡阳市船山英文学校2024~2025年度第一学期高三年级入学试卷（数学）

一?选择题：（共8小题，每题5分，共40分）

1．已知集合，集合，则的真子集个数为（????）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若则（????）

A． B． C． D．16

4．已知函数在上单调递增，求的取值范围（????）

A． B． C． D．

5．已知为等比数列的前项和，为常数列，则（????）

A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件

C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件

6．已知，则（????）

A． B． C． D．1

7．已知圆与圆，过动点分别作圆?圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（????）

A． B． C． D．

8．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（????）

A． B． C． D．

二?多选题：（共3小题，每题6分，共18分）

9．有一组样本数据，由这组样本得到新样本数据，其中，则（????）

A．的中位数为，则的中位数为

B．的平均数为，则的平均数为

C．的方差为，则的方差为

D．的极差为，则的极差为

10．2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（????）

A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时

B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下

C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下

D．设小时后，血液中的酒精含量为，则

11．已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（????）

??

A．关于对称

B．关于点对称

C．在区间上单调递增

D．在区间上的最大值为3

三?填空题：（共3小题，每题5分，共15分）

12．一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有个这样的子集.（要求用数字作答）

13．在圆台中，上底面直径为6，下底面直径为12，高为4，则圆台的表面积为.

14．过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上?下两支分别交于，若，则双曲线的离心率.

四?解答题：

15．在三角形中，.

(1)求；

(2)若，求三角形的面积.

16．在几何体中，平面是的中点，在线段BC上运动.

(1)证明：平面平面.

(2)当平面时，求平面与平面的夹角的正弦值.

17．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，不等式对恒成立，求的取值范围.

18．假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：

(1)当接收到信号0时传送的信号是0的概率；

(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.

19．已知椭圆的左焦点，左?右顶点分别为，上顶点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求圆的方程以及MN的取值范围，若不存在，请说明理由.

1．C

【分析】化简集合，求，确定的元素个数，确定的真子集的个数即可.

【详解】不等式，可化为，

所以或，

所以或，

所以或，

所以，

所以，

不等式可化为，

所以，

所以，

所以的真子集的个数为.

故选：C.

2．B

【分析】利用复数的除法运算求出复数，由其几何意义判断在复平面内对应的点所在象限.

【详解】复数满足，则有，

在复平面内对应的点为，位于第二象限.

故选：B.

3．C

【分析】根据向量的坐标运算，先求和，再根据得，可求的值.

【详解】因为，，

所以，.

因为，

所以

所以.

故选：C.

4．B

【分析】依题意在上恒成立，求的取值范围即可.

【详解】函数在上单调递增，

则在上恒成立，即在上恒成立，

所以，的取值范围为.

故选：B.

5．B

【详解】由，可得，

所以即，所以an