云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

2025届高三上学期开学摸底考试

数学试卷

（考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

2.若，则（）

A. B. C. D.

3.已知向量，，则（）

A.2 B.3 C. D.

4.已知数列是等比数列，若，，则的值为（）

A. B. C.4 D.16

5.已知，，则（）

A. B. C. D.1

6.已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A. B. C. D.

7.已知函数区间上单调递增，则实数a的范围是（）

A. B. C. D.

8.设函数，若，且，，的最小值为（）

A.9 B. C.5 D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.随机变量X服从正态分布，若，则（）

A. B.

C. D.

10.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量X服从二项分布，则

B.设随机变量X服从正态分布，若，则

C.已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7

D.若事件A，B满足，，，则事件A，B相互独立

11.已知数列，下列结论正确的有（）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，则数列是等比数列

D.若为等差数列的前n项和，则数列为等差数列

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设是等差数列，且，，则数列的前10项和______.

13.曲线在处的切线方程为______.

14.双曲线的左、右焦点分别是，，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知为等差数列的前n项和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前10项和.

16.（15分）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：

使用智能辅导系统

未使用智能辅导系统

合计

入学测试成绩优秀

20

20

40

入学测试成绩不优秀

40

20

60

合计

60

40

100

（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；

（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

17.（15分）如图所示，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点M，N分别在棱，上，且，.

（1）求证：平面；

（2）若，，，求二面角的大小.

18.（17分）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若过点的直线l与双曲线交于E，F两点，的面积为，求直线l的方程.

19.（17分）已知函数的图象过点，且.

（1）求a，b的值；

（2）求函数的极值.

2025届高三上学期开学摸底考试数学答案

1.D

【分析】利用指数函数的单调性求得集合M，再求交集即得.

【详解】由可得，因在R上为增函数，故，

则，故.

故选：D

2.A

【分析】利用复数的运算法则计算即可.

【详解】由，得，所以，

所以.

故选：A.

3.A

【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模.

【详解】根据题意，，

所以.

故选：A

4.D

【分析】根据等比数列的性质运算即可.

【详解】因为是等比数列，所以，所以.

故选：D.

5.C

【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.

【详解】由，

由，

可得，