4.2指数函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

新教材必修第一册4.2：指数函数

课标解读：

指数函数的概念.（了解）

指数函数的图像.（理解）

指数函数的性质.（掌握）

指数函数的应用.（理解）

学习指导：

通过指数函数的图像加深对指数函数性质的理解和掌握，而准确把握并熟练运用指数函数的性质是本节重中之重.

会求解指数函数型复合函数的单调性，并利用单调性比较大小，解不等式，求最值等，有关指数型复合函数的问题是高考的热点问题，应熟练掌握求解的基本方法和技巧.

知识导图

知识点1：指数函数的概念

1.指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是R.

2.指数函数的结构特征

指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.

例1-1：给出下列函数：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.

其中为指数函数的有（填序号）.

答案：①⑤⑧

指数点2：指数函数的图象和性质

函数的图象和性质如下表：

底数

图象

性

质

定义域

R

值域

（0，+）

定点

图象过定点（0,1）

单调性

增函数

减函数

函数值的变化情况

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

对称性

函数与的图象关于轴对称

例2-2：如果指数函数是R上的增函数，那么的取值范围是（）

A.B.C.RD.

答案：D

例2-3：已知集合，则（）

?B.C.D.

答案：D

例2-4：已知函数在（0，2）上的值域是（1，），则的大致图象是（）.

答案：B

重难拓展

指数函数的底数对图像的影响

函数的图像如图所示：

观察图像，我们有如下结论：

1.底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.

（1）当时，指数函数的图像是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图像越“陡”，说明其函数值增长的越快.

（2）当时，指数函数的图像是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图像越“陡”，说明其函数值减小的越快.

2.底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图像越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图像相对位置的高低；

在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图像高”；

在轴左侧，图像从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图像低”；

例3-5：已知则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为（）.

答案：A

例3-6：已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中，可能成立的关系是有（）

1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

题型与方法

题型1：指数函数的图像及其应用

1.利用指数函数的图像作有关函数的图像

例7：利用函数的图像，作出下列各函数的图像：

；（2）；（3）；（4）；（5）.

答案：

2.图像的识别问题

例8：（1）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）.

B.

D.

答案：D

（2）函数的图像大致为（）

答案：A

例9：已知函数，当时，取得最小值则的图像为（）

答案：A

变式训练1：若函数的图像不经过第二象限，则有（）

A.B.C.D.

答案：D

变式训练2：二次函数与指数函数的图像可能是（）.

答案：A

3.过定点问题

例10.函数的图像过定点.

答案：（3,4）

4.图像的应用——数形结合

（1）定义区间[]（）的长度为.已知函数的定义域为[]，值域为[1,2]，则区间[]的长度的最大值与最小值的差为（）

A.B.1C.D.2

（2）若直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是.

答案：（1）B（2）（）

题型2：求指数型复合函数的定义域和值域

例12：求下列函数的定义域和值域：

（1）；（2）；

（3）（4）.

答案：（1）定义域：，值域；（2）定义域：，值域：；

（3）定义域：，值域：；（4）定义域：R，值域：.

变式训练：已知集合，则满足的集合B可以是（）.

A.B.C.D.

答案：B

题型3：指数函数单调性的