湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期8月月考 数学试卷（含解析）.docx

湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学试卷

一?单选题

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.已知复数，则（）

A.3B.2C.D.

3.已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（）

A.12B.8C.4D.14

4.的值是（）

A.B.C.1D.

5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（）

A.4B.C.8D.

6.如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（）

A.B.C.D.

7.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围（）

A.B.

C.D.

二?多选题

9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（）

A.这组数据的众数为9B.这组数据的平均数是8.5

C.这组数据的极差是4D.这组数据的标准差是2

10.已知复数，则（）

A.的实部为B.的虚部为

C.D.在复平面内对应的点位于第一象限

11.已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）

A.B.函数为周期函数

C.函数为上的偶函数D.

三?填空题

12.在数列中，.若为等差数列，则___________.

13.若，则的值为___________.

14.如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.

四?解答题

15.在中，，是边上的点，，，.

（1）求与的面积；

（2）求边AC的长.

16.已知椭圆的离心率为，左?右顶点分别为A?B，左?右焦点分别为.过右焦点的直线l交椭圆于点M?N，且的周长为16.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记直线AM?BN的斜率分别为，证明：为定值.

17.在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

（1）证明：平面；

（2）若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求.

18.已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）若关于的方程有两个正根，证明：.

19.将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.

（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

（2）计算以下数列的逆序数.

（i）；

（ii）；

（3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数.

湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学模拟试卷参考答案

1.B

【详解】因为，所以.

故选：B.

2.D

【详解】因为，所以.

3.D

【详解】，

4.A

【详解】原式

.

5.C

【详解】设数列的公比为，

则，得，

解得或（舍），所以.

6.C

【详解】由，易得，取的中点O，连接，，

则，，又，，平面，

所以平面，

所以，

7.A

【详解】由题知是的正整数解，

故，

取指数得，

同除得，，

故，即，

根据是递增数列可以得到也是递增数列，

于是原不等式转化为.

而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.

8.A

【详解】原不等式等价于，

设，，

等价与函数在图象下方的整数解恰有2个，

函数的图象是恒过的直线，

，则，

当时，，

所以在单调递增，

当时，，

所以在单调递减，且，

做出和的图象可知，当时，符合题意的解的个数大于2个，

所以，从图中可看到一个解是，则另外一个解是，且，

因为，所以在可取等号，

，解之可得

9.AC

【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；

对于B，这组数据的平均数是，故B错误；

对于C，这组数据的极差是，故C正确；

对于D，这组数据的方差是，

所以这组数据的标准差是，故D错误.

10.AC

【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误；

在复平面内对应的点位于第四象限.故C正确D错误；

11.AB

【详解】因为为偶函数，

，故函数图象关于直线对称，

f2x+1为奇函数，1），函数图象关于

对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B