江西省多所学校2025届高三下学期第一次大联考 数学试题（含解析）.docx

江西省多所学校2025届高三下学期第一次大联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：.则该组数据的中位数和平均数分别为（????）

A．60，58 B．60，60 C．55，58 D．55，60

3．已知为实数，则（????）

A． B．2 C．1 D．

4．曲线在点处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

5．已知锐角满足，则（????）

A． B． C． D．

6．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知双曲线，则（????）

A．的取值范围是

B．时，的渐近线方程为

C．的焦点坐标为

D．可以是等轴双曲线

10．下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（????）

A． B．

C． D．

11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（????）

A．的图象关于点对称

B．是以8为周期的周期函数

C．

D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．二项式的展开式中的系数为.

13．已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为.

14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望.

四、解答题（本大题共5小题）

15．2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据：

2.8

2.9

3

3.1

3.2

24

25

29

32

34

画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系.

(1)求出关于的线性回归方程；

(2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和.

参考数据：，参考公式：.

16．已知的内角的对边分别为，且．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

17．已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且．

(1)证明：；

(2)求的取值范围．

18．如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.

??

(1)当时，求四棱锥的体积；

(2)当直线与平面所成的角为时，求的值.

19．定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.

(1)请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；

(2)设，若关于满足性质，证明：；

(3)设，若关于满足性质，求数列的前项和.

参考答案

1．【答案】D

【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解．

【详解】，

故．

故选D．

2．【答案】B

【分析】根据中位数定义，以及平均数公式即可求得.

【详解】将样本数据从小到大排列为.易得中位数为60，

平均数为.

故选B.

3．【答案】D

【分析】利用为实数求出，再根据复数的模的公式求解．

【详解】由题意可得，

由为实数，得，

即，则，

故．

故选D．

4．【答案】C

【分析】先求导，根据导数的几何意义写出切线斜率，然后利用点斜式写出方程.

【详解】因为，

所以在点处的切线斜率为，

所以切线方程为，即.

故选C.

5．【答案】A

【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式可得，再根据角的范围以及余弦函数单调性即可得出结论.

【详解】因为，

所以，

又因为为锐角，则，

而在上单调递减，从而，即.

故选A.

6．【答案】B

【分析】由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线，

曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），

设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以，

因为，易知，

又与曲线相切，由，解得，所以，

所以直线斜率的取值范围为.

故选B.

7．【答案】D

【分析】分别联立直线和椭圆，利用的坐标相等建立齐次方程，求解离心率即可.

【详解】

设，由题意可知直线的方程为，

线段的中点是直线与直线的交点，

联立，解得，所以，

另一方面，联立，得.

易知，由韦达定理得，解得，

所以，故离心率，故D正确.

故