浙江省2024年第一届启航杯联考数学试题（原卷版）.docx

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浙江省2024年第一届启航杯联考数学试题

2024年7月29日

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合，则元素数量是（）

A.2 B.3 C.4 D.5

2.已知，则（）

A.1 B. C.2 D.

3.椭圆的左右焦点分别为为上一点，则当的面积最大时，的取值为（）

A. B. C. D.

4.已知边长为6的正方体与一个球相交，球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（）

A. B. C. D.

5.已知的二项式系数之和为64，则的展开式中常数项为（）

A.1 B.6 C.15 D.20

6.已知对恒成立，则最大值为（）

A.0 B. C.e D.1

7.已知且，则的值为（）

A. B. C. D.

8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算.(若有多个使最大，则取其中的最小值).下列说法正确的是（）

A. B.

C. D.与10大小无法确定

9.如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段MG上一动点，则（）

A.三棱锥的体积为定值 B.

C.HD的最小值为 D.若，则

10.设定义域为的单调递增函数满足，且，则下列说法正确的是（）

A.当时，

B.

C.不等式的解集为

D.若使得时，恒成立，则的最小值为2

11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（）

A.该曲线与最多存在3个交点

B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则

C.存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像

D.时，该曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数

二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了6位同学获得某角色抽取次数，结果如下:10，60，90，80，20，180，则以上数据的下四分位数为_________.

13.已知正四面体棱长为4，棱上有一点，棱上有一点，棱上有一点.若，则的最大值为_________.

14.设函数的极小值点为，若的图象上不存在关于直线对称的两点，则的取值范围为_________.

三、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15.已知中，角所对的边分别为已知.

（1）求的取值范围；

（2）求最大时，的面积.

16.已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.

（1）记直线的斜率为，直线的斜率为，求.

（2）当直线的斜率为3时，求点坐标.

17.浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：

1.将玩家次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为的仅有01的序列.

2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为，那么得分即为.

3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.

例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为.可能用到的公式：若为两个随机变量，则.

（1）若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求.

（2）记随机变量表示长度为的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求.

（3）若，清照进行了一次游戏.记随机变量为清照的最终得分，求.

18.定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数.

（1）分别写出当时的值.

（2）证明:是木来数

（3）若为大于1的有理数.且.求证:为木来数

19.称代数系统为一个有限群，如果

1.为一个有限集合，为定义在上的运算(不必交换)，

2.

3.称为的单位元

4.，存在唯一元素使称为的逆元有限群，称为的子群.若，定义运算.

（1）设为有限群的子群，为中的元素.求证:

(i)当且仅当；

(ii)与元素个数相同

（2）设为任一质数.上的乘法定义为，其中[x]为不大于的最小整数.已知构成一个群，求证:(其中表示个作运算)