湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学试卷.docx

湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.

一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．设集合，，若，则集合（????）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（????）

A． B． C． D．

3．等差数列中，，则（????）

A．40 B．30 C．20 D．10

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，且，则的大小关系（????）

A． B． C． D．

7．当时，曲线与交点的个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知的定义域为，且，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）

9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（????）

参考数据：；；

A．这次考试等级分的标准差为5

B．这次考试等级分超过80分的约有45人

C．这次考试等级分在内的人数约为48人

D．

10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（????）

A．曲线的图象关于对称

B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3

C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

11．已知函数，则下列选项中正确的是（????）

A．函数的极小值点为

B．

C．若函数有4个零点，则

D．若，则

三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)

12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则．

13．已知双曲线的左?右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则.

14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种．（用数字作答）

四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．(本小题满分13分)

记的内角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)若外接圆的半径为2，求面积的最大值．

(本小题满分15分)

如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

(本小题满分15分)

如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点.

(1)当直线倾斜角为时，求直线的方程；

(2)求证：的面积为定值.

18．(本小题满分17分)

已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求的零点个数.

(3)在区间上有两个零点，求的范围?

(本小题满分17分)

对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．

(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．

(2)是否存在首项为-2的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列bn是否为“K数列”，并说明理由．