江苏省南京市九中、十三中2024-2025年高三上学期8月阶段性学情检测数学试题（解析）.docx

2024年高三上学期8月阶段性学情检测

数学

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式求出集合，再进行逐项判断看到答案.

【详解】因为，故，

又，

所以没有包含关系，，.

所以ABC错误，D正确.

故选：D.

2.设复数，若为纯虚数，则实数

A.-2 B.-1 C.1 D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先根据复数除法化简，再根据纯虚数概念求解.

【详解】因为为纯虚数，

所以.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查复数除法运算以及纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差服从正态分布.若.则随机变量的第90百分位数的估计值为（）

A.42 B.38 C.36 D.34

【答案】D

【解析】

分析】借助正态分布定义与百分位数定义计算即可得.

【详解】由，则，

则，

故随机变量的第90百分位数的估计值为.

故选：D.

4.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据两角和公式结合切化弦得出，再应用两角差余弦计算.

【详解】因为,

又因为,

所以,

所以.

故选：A.

5.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（）

A.在上是增函数 B.其图象关于直线对称

C.函数是奇函数 D.在区间上的值域为

【答案】D

【解析】

【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，由函数图象平移变换可求得函数，结合余弦函数的图象与性质即可判断各选项.

【详解】，沿轴向左平移个单位，

得．

对于A，当，单调递减，所以选项A错误；

对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误；

对于C，是偶函数．所以选项C错误；

对于D，当，则，所以D正确，

综上可知，正确的为D.

故选：D．

【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式的应用，三角函数平移变换及余弦函数图象与性质的应用，属于基础题.

6.已知数列满足，，若为数列的前项和，则（）

A.624 B.625 C.626 D.650

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定递推公式，按奇偶分类求和即得.

【详解】数列中，，，

当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，

则，

当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，

则，

所以.

故选：C

7.已知点引圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若为等边三角形，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系可得，可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由此分析可得答案.

【详解】根据题意，圆，

即是以为圆心，半径为的圆，

连接，若为等边三角形，则，

在中，，易得，

故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

又由，

则，即，

故的取值范围是.

故选：B.

8.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，

结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.

【详解】因为，

所以，

即，

构造函数，

所以

，

令，解得：，令，解得：，

故在上单调递减，在上单调递增，

当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时

因为当时，单调递减，

故，

两边取对数得：

，

令，则，

令得：，令得：，

所以在单调递增，在单调递减，

所以

故a的最小值是．

故选：C

【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.加斯帕尔?蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）

A.椭圆的离心率为

B.若为正方形，则的边长为

C.椭圆的蒙日圆方程为

D.长方形的面积的最大值为14

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角