江苏省南通中学2024-2025学年高三上学期7月暑假测试 数学试题（含解析）.docx

高三数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.R

2.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.若命题“，”是真命题，则m可能等于（）

A.2 B.3 C.4 D.5

4.已知，，且，则的最小值为（）

A. B. C.4 D.

5.若方程两根为c，d，则方程的根是（）

A.， B.，

C.， D.，

6.某圆台的上、下底面半径分别为r、R，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（）

A. B. C. D.

7.已知函数，则，，的大小关系为（）

A. B.

C. D.

8.已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（）

A.2 B. C. D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知，，且，则（）

A.的最小值是 B.最小值为

C.的最大值是 D.的最小值是

10.关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值可能是（）

A.0 B. C.1 D.3

11.对，表示不超过x的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数.下列说法正确的是（）

A.，

B.，，

C.，，若，则

D.，使成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直角三角形的三边长之和为1，则该三角形面积的最大值为______.

13.不等式的解集为______.

14.设函数，若，则的最小值为______.

四、解答题

15.（本小题13分）

设，已知集合，.

（1）当时，求实数m的范围；

（2）设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围.

16.（本小题15分）

已知一次函数过定点.

（1）若，求不等式解集；

（2）若当且仅当，求的最小值.

17.（本小题15分）

二次函数最小值为2，且关于对称，又.

（1）求的解析式；

（2）在区间，的图象恒在图象的上方，试确定实数m的取值范围；

（3）求函数在区间上的最小值.

18.（本小题17分）

某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

（1）求k的值；

（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

19.（本小题17分）

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设，当时，若对任意，存在使，求实数b取值范围.

高三数学参考答案

一、单选题

1.【答案】B

【详解】解：由题意可得，

则，

所以.

故选：B

2.【答案】B

【详解】由，

解得，

由且，

解得，

故，充分性不成立：

，必要性成立

故是成立的必要不充分条件

故选：B.

3.【答案】D

【详解】由题意得，

因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意，

故选：D.

4.【答案】D

【详解】

，

当且仅当，即，时，等号成立.

故选：D.

5.【答案】A

【详解】，

又c、d为该方程的两根，由韦达定理得，

，

有，

即，解得，.

故选：A

6.【答案】B

【详解】如图，

设圆台上、下底面圆心分别为，，

因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，

则圆台内切球的球心O在的中点处，

设球O与母线切于M点，

所以，且，，

则，

同理，所以，

过A作，垂足为G，

则，

所以，

，即圆台的高为，

该圆台的体积为，

解得，

则球的直径，半径为，

则球的体积为.

故选：B.

7.【答案】C

【详解】∵，

∴，∴是偶函数，，

当时，，故函数在上单调递增，

令，，则，

即函数在上单调递减，故，

即可，而，

所以，

∴.

故选：C.

8.【答案】C

【详解】由题意可知，则，

即，又，

所以，则.设，则，

所以在上单调递增，所以，则，所以，

则.

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，所以的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9.【答案】BC

【详解】对于A，∵，，且，∴，即时，等号成立，

即的最大值是，故A不正确；

对于B，∵，∴，，

所以，故B正确；

对于C，∵，，且，∴，即

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，∵，

即，时，等号成立，

所以的最小值是，故D错误.

故选：BC.

10.【答案】A