3.3幂函数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

新教材必修第一册3.3：幂函数

课标解读：

幂函数的概念.（了解）

幂函数的图像.（理解）

幂函数的性质.（理解）

学习指导：

1.5个具体幂函数中，（正比例函数），（二次函数），（反比例函数）是初中所学知识，很容易画出图像，画与的图像可利用描点法作图，取点时注意点的代表性.

2.先准确把握幂函数的图像在第一象限的特征（与幂指数的关系），再通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图像，进而研究性质，这时学习本节的有效途径。

知识导图：

知识点1：幂函数的概念

1.幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

2.幂函数的特征

（1）的系数为1；

（2）的底数是自变量；

（3）的指数为常数.

只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等的函数都不是幂函数.

例1-1：在函数中，幂函数的个数为（）.

0B.1C.2D.3

答案：B

知识点2：幂函数的图像与性质

1.五个具体幂函数的图像

当时，我们得到五个幂函数，在同一平面直角坐标系中，通过描点得到五个幂函数的图像.如图所示：

2.五个具体幂函数的性质

观察图像，可以得到五个幂函数的性质如下：

函数

定义域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

既不是奇函数也不是偶函数

奇函数

单调性

增函数

在区间上单调递增，在上单调递减

增函数

增函数

在区间和区间上单调递减

过定点

点（1，1）

例2-2：已知，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（）

-1,3B.-1,1C.1,3D.-1,1,3

答案：C

例2-3：下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）

A.B.C.D.

答案：D

重难拓展

知识点3：一般幂函数的图像和性质

1.幂函数的图像

观察五个具体幂函数在第一象限内的图像可知，幂函数的图像在第一象限内具有如下特征：在平面直角坐标系中，直线将直线的右侧部分分为（I）（II）（III）三个区域，如图所示.的图像经过区域（I）；的图像经过区域（II）；的图像经过区域（III）.在直线的右侧，从轴向上，幂函数的指数由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”

利用幂函数在第一象限内的图像特征，可以做出幂函数的图像，其步骤一般是：先利用上述特征，由给定的幂函数，做出幂函数在第一象限内的图像；再研究其定义域，看当时函数是否有意义；若函数在上有意义，则研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函数）图像的对称性，作出y轴左侧的图像，从而得到幂函数的图像。

例3-4：幂函数在第一象限内的图像依次是下图中的曲线（）

A.B.

C.D.

答案：D

例3-5：给出下列说法：

①幂函数的图像均经过（1,1）；

②幂函数的图像均在两个象限里出现；

③幂函数在第四象限内可以有图像；

④任意两个幂函数的图像最多有两个交点.

答案：A

2.幂函数的图像和性质

底数

图象

图像特征

图像经过点（0,0）和点（1,1）在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸

图像过点（1,1），在第一象限内，图像都下凸

性质

定义域

在（0，+）上都有定义，定义域与的取值有关

单调性

在（0，+）上单调递增

在（0，+）上单调递增减

奇偶性

与的取值有关

拓展延伸：对于上表幂函数的性质的补充说明.

1.定义域：在（0，+）上都有定义，定义域与的取值有关，要保证函数解析式有意义.具体如下：

的分类

的定义域

R

（

互质，

,）

是偶数

是奇数

R

是偶数

是奇数

2.幂函数奇偶性的判断方法

的分类

的奇偶性

是偶数

偶函数

是奇数

奇函数

（

互质，

）

是奇函数

是奇函数

奇函数

是偶函数

偶函数

是偶函数

既不是奇函数也不是偶函数

例3-6：给定一组函数图像和函数解析式：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.

请把图像对应的解析式的序号填在图下面的括号内.

答案：⑥④③②⑦①⑤

题型与方法

题型1：幂函数的定义域和值域

例7：（1）函数的定义域是，值域是.

（2）函数的定义域是，值域是.

（3）函数的定义域是，值域是.

（4）函数的定义域是，值域是.

答案：（1）R（2）

（3）（4）

例8：讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的大致图象.

（1）（2）（3）（4）

答