三角函数中的范围、最值问题讲义-2025届高三数学一轮复习.docx

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三角函数中的范围、最值问题

利用三角函数的性质解决，值域、求参数取值范围及解三角形中的最值与范围问题.是高考中的亮点.这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质.问题综合性强，能突出考察学生数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象等核心素养.

1.求三角函数值域相关问题：

方法

基本思路

适合题型

图象

法

首先利用三角公式将原函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，然后借助题目中给定的x的范围，确定ωx+φ的范围，最后利用y=sinx的图象确定函数的值域

求函数y=asinx+b，y=asinx+bcosx+c，y=asin2x+bsinx·cosx+ccos2x的最值问题

换元

法

首先借助三角公式，把函数化成y=f（sinx）型，然后采用换元法，即令t=sinx∈[-1，1]，构造关于t的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解，常见的二次函数，求导法等

求函数y=asin2x+bsinx+c，y=a·sinxcosx+b·（sinx±cosx）+c最值的问题

需分析函数解析式的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域

将y=转化为斜率问题

2.求三角函数参数范围（最值）问题：

（1）正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z）

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域

R

R

x≠kπ+

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

值域

[-1，1]

[-1，1]

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在[2kπ-，2kπ+]上单调递增;在[2kπ+，2kπ+]上单调递减

在[2kπ，2kπ+π]上单调递减;在[2kπ-π，2kπ]上单调递增

在（kπ-，kπ+）上单调递增

对称中心

（kπ，0）

对称轴

x=kπ+

x=kπ

无

（2）解决含参数的三角函数问题基本思路；若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据集合间的关系可求参数的取值范围.

3.求解三角形中的最值与范围问题

基本思路：（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域；（2）利用均值不等式求得最值.

求三角函数值域相关问题

【例1】

1．已知函数，则的最小值是．

【变1】

2．已知函数，则函数的最大值为.

3．函数的最大值是.

4．已知函数，求在区间上的最大值和最小值.

5．函数（）的最大值是．

【变2】

6．若，则函数的值域是.

【变3】

7．设，则函数的最小值为．

三角函数值域问题的解题思路

1、配方法求最值：主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数的最值，可转化为求函数上的最值问题.

2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：

，其中tan=.

3、（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.

4、????换元法求最值：对于表达式中同时含有，与的函数，运用关系式

一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.

利用基本不等式法：利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.

求三角函数参数范围（最值）问题

【例1】

8．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变1】

9．若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变2】

10．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【变3】

11．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

对于范围问题，一般采用子集的思想解决，特别是求取值范围的题目，可以先将参数当成已知，求出函数的单调区间、对称轴、对称中心等，再利用子集思想可求出参数值或参数的取值范围.

三角形中的最值与范围问题

【例1】

12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

【变1】

13．若，则的最大值是.

【变2】

14．中，sin2