八年级数学下册 特殊平行四边形中最小值综合题（解析版）.pdfVIP

专题04特殊平行四边形中最小值综合题

一．选择题（共26小题）

1．（2023秋•辽阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC与BD交于点O，分

别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCF

D边上的动点，则PG的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解答】解：连接PG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，BO＝OD＝OC＝OA，

∴BD＝＝＝5，

∵点G是CD的中点，

∴CG＝，

∵BD∥CF，AC∥DF，

∴四边形CODF是平行四边形，

∵DO＝CO，

∴四边形CODF是菱形，

∴点G到各边的距离相等，

∵点P是四边形OCFD边上的动点，

∴当PG⊥CF时，PG有最小值，

∵BD∥CF，

∴∠BDC＝∠DCF，

∴sin∠BDC＝sin∠DCF＝，

∴，

∴PG＝，

故选：D．

2．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N

是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的

最小值是（）

A．2B．C．3D．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小

值，

理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∴AC•BC＝，

∴＝，

∴CM＝，

∵点D、E分别为CN，MN的中点，

∴DE＝CM＝＝，

即DE的最小值是，

故选：B．

3．（2023秋•朝阳县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上任意一

点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E，则点B到线段EE′距离

的最小值为（）

A．1B．C．D．2

【答案】D

【解答】解：如图，连接BE，BE′，EE′，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝4，

由旋转可知：AE′＝CE，BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∠D′AA′＝∠DCA＝45°，

∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC＝90°，

过点B作BM⊥EE′于点M，

∴BM＝EE′，

∴要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，

设AE＝x，则AE′＝CE＝4﹣x，

在Rt△AEE′中，根据勾股定理得：

222

EE′＝AE+AE′，

2222

∴EE′＝x+（4﹣x）＝2（x﹣2）+16，

2

当x＝2时，EE′有最小值，最小值为16，

此时，EE′＝4，

∴BM＝EE′＝2，

则点B到线段EE′距离的最小值为2．

故选：D．

4．（2023•夏津县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上

的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（）

A．13B．10C．12D．5

【答案】B

【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，

∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，