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吉林省延边市汪清县第六中学2024-2025学年高三入门考试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数,则对应的点在复平面内位于()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设函数(,)是上的奇函数,若的图象关于直线对称,且在区间上是单调函数,则()
A. B. C. D.
3.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()
A. B. C. D.
4.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()
A. B.
C. D.或
5.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()
A. B. C. D.
6.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
7.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()
A.64 B.32 C.2 D.4
8.函数的图象大致为
A. B. C. D.
9.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.已知,则p是q的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()
A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4
C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8
12.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.
14.在三棱锥中,,,两两垂直且,点为的外接球上任意一点,则的最大值为______.
15.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.
16.某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,,,0,2,则该组数据的标准差为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)若函数在处有极值,且,则称为函数的“F点”.
(1)设函数().
①当时,求函数的极值;
②若函数存在“F点”,求k的值;
(2)已知函数(a,b,,)存在两个不相等的“F点”,,且,求a的取值范围.
18.(12分)如图,直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,分别为,的中点,为棱上一点,若平面.
(1)求线段的长;
(2)求二面角的余弦值.
19.(12分)在直角坐标系中,曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若点是圆上一动点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线斜率的取值范围.
20.(12分)已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.
21.(12分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.
(1)证明:;
(2)若,求二面角的余弦值.
22.(10分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.
【详解】
依题意,对应点为,在第一象限.
故选A.
本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.
2.D
【解析】
根据函数为上的奇函数可得,由函数的对称轴及单调性即可确定的值,进而确定函数的解析式,即可求得的值.
【详解】
函数(,)是上的奇函数,
则,所以.
又的图象关
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