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微积分学的重要性，众所周知。世界上每年都有数千万人学

习微积分。我国高中数学新课程中，也增加了微积分初步的一

些内容。

微积分的基本原理，很难说得清楚明白。在数学史上，牛顿和莱布尼兹被

誉为微积分的主要创建人。他们对自己创建的微积分就说不明白。当时和后

来的许多杰出数学家，包括欧拉这样的伟大数学家，也说不明白。数学家使

用原理说不清的方法来解决问题，引来了激烈的冷嘲热讽。

数学家是向前看的。数学家的眼光，能看出淤泥中的种子的生命力，

能透过浓雾看出光明的前方。他们没有因为逻辑上的困难和人们的非议而

抛弃新的方法，而是积极地挖掘新方法带来的宝藏，在不稳固的地基上设计

并着手建设辉煌的大厦。

人们称此为第二次数学危机。

数学家们前赴后继，一代接着一代地思考。

在大约150年后，终于补上了微积分的基本概念上的漏洞。所用的方

法，就是近百年来大学数学系微积分教程里要讲的极限定义方法，所谓ε－δ

（ε－δ）

语言的方法。读作一不是“龙逮儿它”。这个方法是法国的柯西和

德国的维尔斯特拉斯提出来的。

其实，用极限来说明微积分的思想，莱布尼兹早已有了。但说不明白极限

的概念。概念说不明白，一系列的定理的证明只能含含糊糊。直到出现了ε－

δ

语言，把极限说清楚了，微积分也就说清楚了。

ε－δ

虽然说清楚了，但语言学起来太辛苦。除了数学专业，大学里的理

ε－δ

工科的高等数学课程里，都不要求掌握语言的推理方法，只求直观地大

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概了解微积分的原理。

也就是说，在微积分的严谨化完成后100多年的今天，尽管每年有上千

万人学习微积分，但其中百分之九十都是知其然而不知其所以然，对微积分

的原理只能做到模模糊糊地了解。

如何能够让学生轻松地弄明白微积分的原理，这是世界上数学教育领域的

百年难题。

如今，难题有望解决。

:

解决难题的方案令人惊奇不用极限概念，用一个初等的不等式来定义函

数的导数，也能够严谨地建立微分学。

这个不等式，就是我国著名数学家林群院士提出的一致性不等式“”。林先

生提出用一致性不等式“”来定义导数，首先是为了直接地简捷推出微积分基本

定理。随后我们发现，这样定义导数使更多的问题能够迎刃而解。

这样一来，微积分中最基本的部分，就成了初等数学！如果用一致性不“

等式”来定义导数，半节课就能严谨地证明这个命题。所用的方法是初等的，

高中生也能理解。

在一些数学大家的著作里，常常说，没有极限概念就无法定义导数。现在

发现，不用极限概念不但能定义导数，而且更利于展开推理。如果当初牛顿

发现了这个定义方法，第二次数学危机就没有了。数学史就要改写。

如果柯西和维尔斯特拉斯发现了这个定义方法，高等数学教学的最大难点

就被消除了。

当初，用极限来定义导数，深化了人们对微积分的认识。

现在发现，不用极限也