2.2基本不等式 课前检测 【新教材】2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.doc

2.2基本不等式课前检测题

一、单选题

1．已知，若，则的最小值是（）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．若，则（）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

3．“”是“函数的最小值大于4”的（）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

5．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）

A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)

6．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（）

A．25 B．50 C．20 D．

7．函数的最小值为（）

A．9 B．6 C．5 D．2

8．已知都是正数，若，则的最小值是（）

A．5 B．4 C． D．

二、多选题

9．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（）

A． B．

C． D．

10．下列说法中，正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

三、填空题

11．已知，则函数的最小值为______________.

12．函数的最小值是___________.

13．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.

14．已知，且，则的最小值为___________.

四、解答题

15．已知、都是正数，求证：

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.

16．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；

（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；

（3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值；

参考答案

1．D

【分析】

根据基本不等式求解即可.

【详解】

解：因为，，

所以基本不等式得，当且仅当时等号成立.

所以的最小值是

故选：D

2．A

【分析】

直接根据基本不等式求解即可．

【详解】

解：∵，

又，，当且仅当即时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

故选：A．

3．C

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】

解：若，则的最小值为；

若的最小值大于4，则，且，则，

故选：C．

4．B

【分析】

将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.

【详解】

因为，，且，

所以，

所以，

所以，即

当且仅当，

即，时等号成立，故的最小值．

故选：B.

5．A

【分析】

利用基本不等式由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围

【详解】

解：因为，

所以，

即，当且仅当，即时取“=”，

所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].

故选：A.

6．B

【分析】

利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.

【详解】

由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，

当且仅当m=n=±时等号成立.

所以mn的最大值是.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.

7．C

【分析】

本题可通过基本不等式求出最值.

【详解】

因为，所以，

则，

当且仅当时取等号，

故函数的最小值为.

故选：C.

8．C

【分析】

利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.

【详解】

∵，

∴，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值是.

故选：C.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

9．BCD

【分析】

由，得到，然后利用射影定理得到判断.

【详解】

因为，

所以,

因为，

所以由射影定理得，

因为，

所以，当且仅当时取等号，

故选：BCD

10．ABD

【分析】

利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可.

【详解】

解：对于A选项，由，得，故A正确；

对于B选项，由，得，即，故B正确；

对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确；

对于D选项，由基本不等式，得，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】

本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题.

11．

【分析】

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

依题意，，

当且仅当时等