八年级数学下册 正方形中十字架模型（解析版）.docxVIP

专题02正方形中十字架模型

十字架模型

分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。

【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？

（1）直接判断：AE＝BF（填“＝”或“≠”）；

在“问题情境”的基础上，继续探索：

问题探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；

问题拓展：

（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．

①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；

②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为2．

【答案】（1）＝；

（2）相等，理由见解答部分；

（3）①四边形AHNH′是正方形；

②2．

【解答】解：（1）∵AE⊥BF，

∴∠EMB＝90°，

∴∠FBC+∠BEM＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，

∴∠FBC+∠BFC＝90°，

∴∠BEM＝∠BFC，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF．

故答案为：＝；

（2）GE＝BF，理由如下：

如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N，

∴∠EMB＝∠NHB＝90°，

∴∠FBC+∠BNH＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，

∵AD∥BC，AN∥GE，

∴四边形ANEG是平行四边形，

∴AN＝EG，

∵∠C＝90°，

∴∠FBC+∠BFC＝90°，

∴∠BNH＝∠BFC，

∴△ABN≌△BCF（AAS），

∴AN＝BF，

∵AN＝EG，

∴GE＝BF．

（3）①如图3，连接CH，

由（2）的结论可知，AE＝MN，

∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，

∵BH＝BH，

∴△ABH≌△CBH（SAS），

∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH，

由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，

∵∠ABN+∠AHN＝180°，

∴∠BAH+∠BNH＝180°，

∵∠BNH+∠HNC＝180°，

∴∠BAH＝∠HNC，

∴∠HNC＝∠NCH，

∴NH＝CH，

∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，

∴四边形AHNH′是菱形，

∵∠AHN＝90°，

∴菱形AHNH′是正方形；

②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，

∴∠H′QN＝∠HFB＝90°，

由上知四边形AHNH′是正方形，

∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′＝AN，

∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°，

∴∠H′NQ＝∠NHF，

∴△H′QN≌△NFH′（AAS），

∴H′Q＝NF，QN＝HF；

∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°，

∴△BHF是等腰直角三角形，

∴HF＝BF＝NF+BN，

∵QN＝QB+BN，

∴NF＝QB＝QH′，

∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，

∴∠H′BD＝90°；

如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K，

则△PBK是等腰直角三角形，

∴PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′+AN最小，最小值为AP′的长．

∵AB＝6，

∴BD＝6，

∵BD＝3BP，

∴BP＝BP′＝2，

∴PK＝BK＝2，

∴AK＝8，

∴AP′＝＝2，即PH′+AN的最小值为2．

故答案为：2．

【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，

∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，

又∵DE＝AF＝1，

∴CE＝DF＝3，

在△CDF和△BCE中，

，

∴△CDF≌△BCE（SAS），

∴∠DCF＝∠CBE，

∵∠DCF+∠BCF＝90°，

∴∠CBE+∠BCF＝90°，

∴∠BGC＝90°，

在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，

∴BE＝＝5，

∴BE?CG＝BC?CE，

∴CG＝＝＝．

故选：D．

【变式1-2】如