2025年高考数学复习新题速递之空间向量的应用（2024年9月）.docx

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2025年高考数学复习新题速递之空间向量的应用（2024年9月）

一．选择题（共8小题）

1．（2024?江西开学）已知圆台的上、下底面的面积分别为4π，25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）

A．278 B．274 C．378

2．（2024?德州开学）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为283，AB=4，A1B

A．12 B．1 C．2 D．

3．（2024秋?滨城区校级月考）已知向量a→=(1，-4，3)，b→=(2，4x，y+1)分别是直线l1

A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4

4．（2024秋?辽宁月考）设x，y∈R，向量a→=（x，1，1），b→=（1，y，1），c→=（2，﹣4，2），且a→⊥c→，

A．22 B．10 C．3 D．

5．（2023秋?肇东市校级期末）已知A（1，0，1），n→=(1，0，1)是平面α的一个法向量，且B（﹣1，2，2）是平面

A．23 B．26 C．2 D

6．（2024?平湖市校级模拟）设x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，

A．22 B．10 C．3 D．

7．（2024春?射阳县校级期末）已知a→=(2，-1，3)，

A．103 B．﹣6 C．6 D．

8．（2024春?惠农区校级期末）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l→=(2，m，1)，平面α的一个法向量为n→=(-1，2，

A．2 B．2 C．22 D．

二．多选题（共4小题）

（多选）9．（2024?余江区校级开学）已知平面四边形ABCD中，AB=AD=BD=2，和BC＝CD＝1，将平面四边形沿对角线BD翻折，得到四面体A1﹣BCD

A．无论翻折到何处，A1C⊥DB

B．四面体A1﹣BCD的体积的最大值为612

C．当A1C＝1时，A1C与平面A1BD所成角的正弦值为23

D．当A1C=3时，二面角B﹣A1D﹣

（多选）10．（2024秋?香坊区校级月考）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点，下列说法正确的是（）

A．C1A⊥EF

B．DD1与平面CD1EF所成角的正弦值为23

C．存在点M使得C1M⊥平面CD1EF

D．若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为2

（多选）11．（2023秋?吴桥县校级月考）下列给出的命题正确的是（）

A．若直线l的方向向量为e→=(1，0，3)，平面α的法向量为

B．两个不重合的平面α，β的法向量分别是u→=(2，2，

C．若{a→，b

D．已知三棱锥O﹣ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP→=

（多选）12．（2023秋?福清市校级月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠ACB＝90°，AC=BC=12AA1=1

A．点B到平面AA1C1C的距离为2

B．DC1→是平面

C．点C到平面BDC1的距离为63

D．BD=

三．填空题（共4小题）

13．（2024春?铜山区月考）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的取值范围是．

14．（2024?浑南区校级开学）若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA=6，则二面角P﹣BC﹣A的大小为

15．（2024秋?三元区校级月考）已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u→=(-92，3，z)，向量v→

16．（2024春?内蒙古月考）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=2AA1=27，AB=BC=21，P是线段A1B上一动点，则AP+PC1的最小值为

四．解答题（共4小题）

17．（2024?七星区校级模拟）如图，几何体PABCD中，△PBD和△CBD均为等边三角形，平面ABD⊥平面PBD，AB=AD=5，BD=2

（1）证明：PC与AM不是异面直线；

（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

18．（2024?辽宁开学）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+?+∠Qk-1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi（i＝1，2，?，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q

（1）求三棱锥P﹣ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，三棱锥P﹣ABC在顶点C处的离散曲率为38

①求点A到平面PBC的距离；

②点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的