1.4小结4--一元二次函数与一元二次不等式 讲义（知识点+基础巩固检测）【新教材】2021-2022学年北师大版（2019）高一数学必修第一册.doc

1.4小结4--一元二次函数与一元二次不等式知识点与基础巩固检测题

解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2、简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

基础巩固检测题

一、单选题

1．不等式的解集是（）

A． B．或

C． D．或

2．不等式的解集为（）

A． B． C． D．

3．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（）

A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）

C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）

4．函数在区间(2，4)上（）

A．单调递增 B．单调递减

C．先减后增 D．先增后减

5．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）

A．y＝2x2 B．y＝2x2－4x＋2 C．y＝2x2－1 D．y＝2x2－4x

6．函数在区间（1，2）内的函数值为（）

A．大于等于0 B．等于0 C．大于0 D．小于0

7．函数的单调递减区间是（）

A． B．

C． D．

8．已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则（）

A．16 B． C．8 D．

9．在上的定义运算，则满足的解集为（）

A． B． C． D．

10．若的解集是，则（）．

A．

B．

C．

D．

11．已知二次函数的图象开口向下，且过点A(1，1)，B(3，1)，C，D，E，则，，的大小关系是（）

A． B．

C． D．

12．若相异两实数x，y满足，则之值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

13．若关于的不等式的解集为，则实数________．

14．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．

15．函数的图象总在轴上方，则的取值范围是________

16．若关于的不等式的解集为，不等式的解集是，且中，，则不等式的解集为____________.

三、解答题

17．（1）解不等式.

（2）若不等式的解集为，求实数，的值；

18．已知函数.

（1）当，时，求函数的值域.

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

19．已知.

（1）当时，求关于的不等式大于0的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数，的值.

20．已知函数

（1）若，求a的值；

（2）当时，的解集为M，求M

21．已知不等式的解集为.

（1）求实数，的值；

（2）解关于的不等式：（为常数，且）.

22．已知关于x的不等式．

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．

参考答案

1．A

【分析】

利用“三个二次”的关系解二次不等式.

【详解】

解不等式得.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

2．D

【分析】

将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解.

【详解】

原不等式可化为，解得．

故选：D．

3．D

【分析】

利用导数求函数的最值即可.

【详解】

f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0，

∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，

∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．

故选：D

4．C

【分析】

根据二次函数的单调性可得结果.

【详解】

函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.

故选：C

5．D

【分析】

分别求二次函数的顶点，判断选项.

【详解】

A.的顶点是，

B.的顶点是，

C.的顶点是，

D.的顶点是，

综上可知，顶点