1.4充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

新教材必修第一册1.4：充分条件与必要条件

课标解读：

必要条件的概念（理解）

充分条件的概念（理解）

充要条件.（理解）

学习指导：

学习本节内容的关键在于通过对典型数学命题的梳理，理解“充分条件、必要条件、充要条件”的概念，并熟练掌握判定方法.

学习重点是对充分条件、必要条件和从要条件的意义的理解和辨析，判断“若，则”形式的命题的真假.

知识导图：

教材全解

知识点1：充分条件与必要条件

命题：一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若，则”、“如果，那么”等形式.其中称为命题的条件，称为命题的结论.

充分条件与必要条件

一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.

如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.

说明：一般地（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

3.充要条件的概念

一般地，“若，则”和它的逆命题“若，则”均是正命题，即既有，又有,记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如概括地说，如果，那么与互为充要条件.

知识剖析：

4.充分条件与必要条件的传递性

充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：

（1）若是的充分条件，是的充分条件，即，则有，即是的充分条件；

（2）若是的必要条件，是的必要条件，即，则有，即是的必要条件；

（3）若是的充要条件，是的充要条件，即，则有，即是的充要条件；

例1-1：用符号“”与“”填空.

（1）；（2）都是偶数是偶数.

答案：（1）（2）

例1-2：下列说法是否正确？请说明理由.

是=0的充分条件；

是的充分条件；

是的必要条件.

答案：（1）正确，因为；

错误，因为；

正确，因为.

例1-3：（浙江高考题）设是实数，则“”是“”的（）

充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：D

例1-4：已知都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，那么：

是的什么条件？

是的什么条件？

是的什么条件？

答案：（1）s是q的充要条件.

r是q的充要条件；

（3）p是q的充分条件.

重难拓展

知识点2：从集合角度看充分、必要条件

1.依据

设集合.若具有性质，则；若具有性质，则

若，就是说具有性质，则必有性质，即类似地，与等价。与等价.

2.结论

如果把研究的范围看成集合A，把研究的范围看成集合B，则可得下表.

3.适用范围

当所要研究的含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关所描述的对象可以用集合表示，可以借助集合的包含关系，利用Veen图或者数轴解题.

例2-5：设，则是的（）

充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

例2-6：从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空.

“”是“”的；

“”是“”的.

答案：（1）充要条件；（2）必要不充分条件.

解题指导

题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.定义法

例7：（湖南高考题）设，则“”是“”的（）

充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

2.集合法

例8：（1），则是的条件.

（2）：一个四边形是平行四边形，：一个四边形是正方形，则是的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案：（1）既不充分也不必要；

（2）充分不必要.

3.等价转化法

例9：是方程有实数根且的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

4.传递法

例10：若是的充分不必要条件，是的必要条件，又是的充要条件，是的必要条件，则是的什么条件？

答案：s是p的充分不必要条件

5.特殊值法

例11：设是实数，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要