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高二圆基础练习题

题目一:

已知圆C的半径为r,圆心为O。一条过点O的直径AB与圆C交

于点M。另一条交圆C于点E的弦CE与直径AB的交点为N。连接

ON,垂直于ON的直线与圆C交于点F。证明:EF⊥EF的垂线.

解答:

首先,连结线段OC与NE,因为OC与NE两线段的交点F与直径

AB上的点M在一条直线上,所以可以认为MN与OC与NE三线段共

线。

由于OC=ON,所以以点O为中心,以OC为半径可以作一个圆。

设该圆与直线OE交于点K,交圆C的切线于点L。由于RE与NL均

与半径OC垂直,所以RE⊥NL,且由于K是圆C的切点,所以N,K,

L三点共线。

再者,设从F引垂线FG⊥OC交直线NE于点G,并连接FO。根

据垂线定理可知,EF⊥EF的垂线等价于ON⊥EF的垂线。

下面我们证明ON⊥EF的垂线。

由于OC=ON,所以可以推出:

ON^2-OC^2=NC^2-OC^2=(NC-OC)×(NC+OC)=AC×BC

同理,OC^2-OF^2=AC×BC

所以ON^2-OF^2=NC^2-OC^2+OC^2-OF^2=NC^2-

OF^2

又因为FG⊥OC,所以OF=FG。

根据正交分解定理可知位于NC上的有向线段NF可以分解为OF和

FN,即NF=OF+FN。

所以:

NF^2-EF^2=(OF+FN)^2-EF^2

=OF^2+2OF×FN+FN^2-EF^2

又因为EF⊥FN,所以EF^2=FN^2+NE^2

带入到上式得:

=OF^2+2OF×FN+EF^2-NE^2

=OF^2+2OF×FN

同理:

NF^2-EF^2=(NF-FN)^2-EF^2

=NF^2-2NF×FN+FN^2-EF^2

根据向量定理,有NF=NC+CF

将NE加入考虑,有NC=NE-EC=NE-CE

所以:

NF^2-EF^2=(NF-NF+FN)^2-EF^2

=(NF-(NE-CE)+FN)^2-EF^2

=(NF-(NE-CE+FN))^2-EF^2

=(NE-FN)^2-EF^2

因此:

NF^2-EF^2=OF^2+2OF×FN

=(NE-FN)^2-EF^2

所以:

(NE-FN)^2-EF^2=(NF-FN)^2-EF^2

将其变形为:

(NE-FN)^2=(NF-FN)^2

可以看出NE=NF,即证明了OE⊥FN。

所以:

EF⊥EF的垂线

题目二:

已知圆C的半径为r,圆心为O,一条过圆心O的直径为AB,与

圆C交于点M,点P是圆C上一点.连接PM,垂直于PM的直线与

AB交于点N.证明:NO⊥MP.

解答:

首先,连接PN,根据题目描述我们知道PM是与圆C的直径AB

垂直的线段,所以可以认为PN与PM垂直,并且题目定义了MN,且

点N是直径AB上的一点,所以可以认为有OM⊥MN。

由于OM⊥MN,所以可以断定MN=MO,而MO=PO,所以

PN=PO。

由于PN=PO,我们可以知道直线PN与直线PO是相同的直线,所

以NO⊥MP。

所以,证明了NO⊥MP。

题目三:

已知△ABC中,AB=BC,D,E,分别为AB,BC的中点.延长AD与

CE至交于点O.连结OC、OA.并设AC=a,则BC=AC=b.求交点O

的位置和OC的长度。

解答:

首先,我们可以得知AD是BC

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