湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）.docx

2024年高三秋季数学入学考试试题

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1.设全集，集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】用列举法写出全集，再利用并集、补集的定义求解作答.

【详解】依题意，全集，而，有，

所以

故选：B

2.复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四像限

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限.

【详解】，

则在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D．

3.已知第二象限角满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解.

【详解】∵，∴，

解得或（舍去），

所以.

故选：D

4已知正项数列满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解.

【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，

所以.

故选：B

5.已知数列an的各项均为正数，bn满足，，则下列结论正确的是（）

A.bn是等差数列 B.b

C.是等差数列 D.是等比数列

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知数列bn的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论．

【详解】因为数列an各项为正数，bn满足，，

故对任意的，，则，

所以数列bn的每一项都是正数，所以，可得.

由等差中项法可知，数列是等差数列．

故选：C.

6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）

A.240 B.420 C.540 D.900

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分为三个景点安排的人数之比为或或，结合排列、组合数的计算公式，即可求解.

【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；

若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；

若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，

故不同的安排方法种数是．

故选：C．

7.如图，是椭圆的左?右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，得到和，两式相除即可求解.

【详解】设，

则，

，

两式相乘得,①

因为直径所对的角是直角,所以

所以,②

①除以②得，故，

故选：D

8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.

【详解】如图所示，由圆，可得，

则圆心，半径，

设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，

其中，则，

则，所以的最大值为.

故选：D.

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则

A.平面

B.直线和直线所成的角为

C.当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆

D.过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为

【答案】ABD

【解析】

【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断A、B正误；结合椭圆的定义可判断C的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断D的正误．

【详解】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，

则平面，故A正确；

设中点为，则，且，故B正确；

，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，

又平面与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；

设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，

，，，，

，而，故，同理，

而，平面，而平面，则，

平面，平面，，

，，平面，

平面，而平面，则，

，同理，，

又，，则，

而，

交线长为，故D正确．

故选：ABD.

10.已知棱长为2正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（）

A.平面平面

B.不存在点，使得直线平面

C.的最小值为

D.的周长随着线段长度的增大而增大

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据几何体特征判断A选项,根据线面平行的判定定理判断B选项,结合距离和最小判断C选项,根据导数结合函数单调性判断D选项.

【详解】由于正方体的对角面相互垂直，故正确；

当点与重合时，直