高考数学 空间向量的运算及其坐标表示（精讲）解析版.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第35讲空间向量的运算及其坐标表示（精讲）

题型目录一览

①空间向量的线性运算

②空间共线、共面向量定理的应用

③空间向量的数量积运算

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．

（2）零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．

模为1的向量称为单位向量．

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．

空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．

（4）空间向量的加法和减法运算

①，．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

，

二、空间向量的数乘运算

（1）数乘运算

实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，．

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．

（4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

（5）直线的方向向量

为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．

（6）共面向量

如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

（7）共面向量定理

如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．

推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．

②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．

三、空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．

（2）数量积定义

已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

，（交换律）；

（分配律）．

知识点四：空间向量的坐标运算及应用

（1）设，，则；

；

；

；

；

．

（2）设，，则．

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．

①已知，，则；

；

；

；

②已知，，则，

或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．

（4）向量在向量上的投影为．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一空间向量的线性运算

策略方法用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形．

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．

【典例1】在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可；

（2）根据空间向量的运算法则运算即可求解；

【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得

.

（2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有

根据空间向量的运算法则，可得.

??

【题型训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算求解即可.

【详解】.

故选：C

2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（??????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．

【详解】-＝，

.

故选：A．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量