专题36 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（解析版）.docxVIP

专题36圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）

【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题

例1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（????）

??

A．30° B．25° C．20° D．10°

【答案】C

【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．

【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

??

∵，∴，∵，∴，

∵，，∴，，

∴，∴，

∴．∴的度数20°．故选：C．

【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．

例2.（2023?南召县中考模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）

A．42° B．28° C．21° D．20°

【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E=13∠

【解答】解：连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，

∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，

∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．

例3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．

【答案】105°．

【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

【解析】解：连接OD、OE，

∵的度数为35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，

∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，

∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，

∴的度数是105°．故答案为105°．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

例4．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接,根据等腰三角形的性质得到,根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】连接,∵,∴∴,

∵,∴是等边三角形,∴,

??

∵，,∴,，∴,

∵,，

，即的半径为，故选:.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.

模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）

【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。

在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。

例1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于cm．

??

【答案】10

【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径