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专题36圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)
在平面几何中,与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目,添上合适的辅助线,问题就会迎刃而解,思路畅通,从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多,本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
模型1、遇弦连半径(构造等腰三角形)
【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦,连接OA,OB,则∠A=∠B.
在圆的相关题目中,不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时,通常可以连接半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理,还可连接圆周上一点和弦的两个端点,根据圆周角的性质可得相等的圆周角,解决角度或长度的计算问题
例1.(2022·山东聊城·统考中考真题)如图,AB,CD是的弦,延长AB,CD相交于点P.已知,,则的度数是(????)
??
A.30° B.25° C.20° D.10°
【答案】C
【分析】如图,连接OB,OD,AC,先求解,再求解,从而可得,再利用周角的含义可得,从而可得答案.
【详解】解:如图,连接OB,OD,AC,
??
∵,∴,∵,∴,
∵,,∴,,
∴,∴,
∴.∴的度数20°.故选:C.
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键.
例2.(2023?南召县中考模拟)如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于()
A.42° B.28° C.21° D.20°
【分析】利用OB=DE,OB=OD得到DO=DE,则∠E=∠DOE,根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E,所以∠1=2∠E,同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E,然后利用∠E=13∠
【解答】解:连结OD,如图,∵OB=DE,OB=OD,∴DO=DE,∴∠E=∠DOE,
∵∠1=∠DOE+∠E,∴∠1=2∠E,而OC=OD,∴∠C=∠1,
∴∠C=2∠E,∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E,∴∠E=13∠AOC=13×84
【点评】本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质.
例3.(2023·江苏沭阳初三月考)如图,已知点C是⊙O的直径AB上的一点,过点C作弦DE,使CD=CO.若的度数为35°,则的度数是_____.
【答案】105°.
【分析】连接OD、OE,根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可.
【解析】解:连接OD、OE,
∵的度数为35°,∴∠AOD=35°,∵CD=CO,∴∠ODC=∠AOD=35°,
∵OD=OE,∴∠ODC=∠E=35°,∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°,
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°,∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°,
∴的度数是105°.故答案为105°.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
例4.(2023年山东省淄博市中考数学真题)如图,是的内接三角形,,,是边上一点,连接并延长交于点.若,,则的半径为(????)
??
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】连接,根据等腰三角形的性质得到,根据等边三角形的性质得到,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
【详解】连接,∵,∴∴,
∵,∴是等边三角形,∴,
??
∵,,∴,,∴,
∵,,
,即的半径为,故选:.
【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
模型2、遇弦作弦心距(解决有关弦长的问题)
【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦,过点OE⊥AB,则AE=BE,OE2+AE2=OA2。
在圆中,求弦长、半径或圆心到弦的距离时,常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时,常作弦心距。
例1.(2023年浙江省衢州市中考数学真题)如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与边相切,则此餐盘的半径等于cm.
??
【答案】10
【分析】连接,过点作,交于点,交于点,则点为餐盘与边的切点,由矩形的性质得,,,则四边形是矩形,,得,,,设餐盘的半径
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