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第二章解析函数第一节解析函数的概念和哥西-黎曼条件一、导数的定义（定义2.1）二、哥西-黎曼条件（C-R条件）f(z)可微的必要条件分析定理2.1必要条件注：C-R条件（必要不充分条件）ux=vyuy=-vx复变函数的导数（在已知u、v的情况下）表示三、定义2.2解析函数定义一、调和性定理2.3解析函数的实部与虚部都是调和函数，即△u=uxx+uyy=0,△v=vxx+vyy=0定理2.4解析函数的实部与虚部是共轭调和函数。应用初等单值函数初等多值函数**导数连续极限例1.例2.在复平面上均不可微从定义形式上看，复变函数与实变函数是完全一样的，所以实变函数论中的相关规则往往可以适用于复变函数。例如：但是，复变函数可导却比实变函数复杂的多，因为实变函数Δx只能沿实轴逼近0，而复变函数Δz则可以沿任何曲线逼近于0，因此，复变函数的可导有更严格的要求。C-R条件ux=vyuy=-vx1.偏导数ux,vy.vx.uy存在2.满足C-R条件例3.在z=0点满足C-R条件，但不可微。定理2.2（充要条件）（1）u,v在点(x,y)可微（偏导数ux,uy,vx,vy存在且连续）（2）满足C-R条件意义：可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。点解析函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导区域解析函数f(z)在区域D上每一点都解析闭域解析函数f(z)在上每一点都解析奇点函数f(z)在z0点不解析四、极坐标下的C-R条件第二节解析函数与调和函数的关系例验证为调和函数，并求它为实部的解析函数。Y(X,Y)0(X,0)XY(X,Y)0(X,0)X正交性—解析函数的实部与虚部梯度正交曲线u(x,y)=C1,v(x,y)=C2相互垂直。例：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：电力线方程的一般形式为2xy=C第三节初等解析函数幂函数多项式函数有理函数指数函数不等于0、解析、周期性、极限不存在正弦函数、余弦函数解析、奇（偶）性、周期性、其模小于等于1不存在*