专题08 求数列通项17种常见考法归类（原卷版） .docxVIP

专题08求数列通项17种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、观察法

考点二、等差等比定义求通项

考点三、由an与Sn的关系求通项

(一)消Sn

(二)消an

(三)内部消化

(四)隐藏的Sn

考点四、因式分解

考点五、累加法求通项

考点六、累乘法求通项

考点七、构造法求通项

考点八、三项递推法求通项

考点九、同除法

考点十、分式型取倒数求通项

考点十一、不动点法求通项

考点十二、对数变换法

考点十三、周期数列

考点十四、等和数列

考点十五、等积数列

考点十六、前n项积型

考点十七、正负相间讨论、奇偶讨论型

1、数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．

注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．

2、数列的递推公式

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

3、通项公式和递推公式的异同点

不同点

相同点

通项公式

可根据某项的序号n的值，直接代入求出an

都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项

递推公式

可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an

4、常见数列的通项

(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.

(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.

(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.

(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.

(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.

(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).

(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).

(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.

1.观察法

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

2.等差等比定义求通项

等差数列判定：

①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；

②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；

③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.

等比数列的判定方法：

(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)?数列{an}是等比数列；

(2)等比中项法：即证aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?数列{an}是等比数列．

3.利用与的关系

依据求出.

已知Sn求an的三个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1.

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写

注：an与Sn关系的应用策略

(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．

(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”.具体如下：

与同时存在

1：已知与的关系；或与的关系

用，得到

例：已知，求

2：已知与的关系；或与的关系

替换题中的

例：已知；

已知

3：等式中左侧含有：

作差法

（类似）

例子：已知求

(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！

4.因式分解

如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解

5.累加法与累乘法

（1）累加法：形如的解析式

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：