专题09 数列求和6种常见考法归类（原卷版） .docxVIP

专题08数列求和6种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、公式法求和

考点二、分组转化法求和

（一）等差+等比

（二）等差（等比）+裂项

（三）奇偶型求和

（四）正负相间型求和

考点三、倒序相加法求和

考点四、错位相减法求和

（一）等差等比

（二）等差/等比

考点五、裂项相消法求和

（一）等差型

（二）无理型

（三）指数型

（四）对数型

（五）幂型

（六）通项与前n项和型

考点六、数列求和的实际应用

（一）分期付款

（二）产值增长

（三）其他模型

1、公式法

（1）等差数列的前n项和．

（2）等比数列的前n项和．

2、几种常见的数列求和方法

（1）分组转化法求和：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

（3）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

（4）裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．

（5）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.

1、公式法

公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.

①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.

②等比数列的前n项和公式：

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))

③数列前项和重要公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）等差数列中，；

（6）等比数列中，.

2、分组转化法

有一类数列SKIPIF10，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列SKIPIF10是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．

注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减

②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减

③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减

(2)通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．

注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：

①可构建新数列；②可“跳项”求和

(3)正负相间求和：

①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。

②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。

注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

3、倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.

注：倒序求和，多是具有中心对称的

4、裂项相消法

裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项

在利用裂项相消求和时应注意：善于识