精品解析：北京市朝阳区北京中学2023-2024高二上学期12月月考数学试题（原卷版）.docxVIP

2023—2024学年度第一学期12月月考

高二年级数学试卷

本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

一.选择题（共10个小题，每个小题4分，共40分）.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）

A. B. C.2 D.

3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）

A. B. C. D.

4.已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

5.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）

A B.3 C.9 D.36

6.已知曲线在点处的切线经过点(0，－1)，则的值为()

A. B.1

C.e D.10

7.已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）

A. B. C. D.

9.古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（）

A.数列是等差数列，且公差为

B.数列是等比数列，且公比为

C.数列是等比数列，且公比为

D.数列是等差数列，且公差为

10.已知双曲线C：（，）左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．以线段为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若，则的面积是（）

A. B. C. D.

二.填空题，每个小题5分，共25分.

11.已知直线，．若，则实数的值是_______．

12.已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列的前9项和的值为__________.

13.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．

14.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．

15.已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥可能正四棱锥；

②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；

③可能有平面平面；

④四棱锥的体积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是__________.

三.解答题，共6个小题，共85分.

16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

17.已知曲线与轴交于不同两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．

（1）若为等腰直角三角形，求的面积；

（2）记的面积为，求的最大值．

18.已知椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线，分别交轴于不同的两点.如果为锐角，求的取值范围.

19.已知函数，且．

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值．

20.已知椭圆W：的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点．

（1）求椭圆W的方程；

（2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．

21.设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．

（1）若，写出的值；

（2）若，求；

（3）设求证：对任意无穷数列，存在数列，使得为常数列．