2021数学三真题答案--.docVIP

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2021年全国硕士研究生入学统一考试

数学(三)试题及解析

一、选择题：1～8小题,每题4分,共32分．以下每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．

(1)设，那么

(A).

(B).

(C).

(D).

【答案】B

【解析】

设，那么

那么

(2)函数，那么第二类间断点个数为〔〕

(A).1

(B).2

(C).3

(D).4

【答案】C

【解析】此题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：

1.找出无定义的点〔无意义的点〕；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。

第二类间断点的定义为至少有一个不存在，很显然不存在的点为。

在处，；

在处，；

在处，，，，；

在处，，；

所以，第二类间断点为3个。

(3)对奇函数在上有连续导数，那么()

(A).是奇函数

(B).是偶函数

(C).是奇函数

(D).是偶函数

【答案】：A

【解析】为奇函数，那么其导数为偶函数，又为偶函数，那么，那么为偶函数，故为偶函数，以0为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，此题选;对于选项，为偶函数，那么为偶函数，为奇函数，那么既非奇函数又非偶函数。

(4).幂级数的收敛区间为，那么的收敛区间为

(A).(-2,6)

(B).(-3,1)

(C).(-5,3)

(D).(-17,15)

【答案】

【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，

那么要求的收敛区间，只需要求出的值即可，

而条件告诉我们幂级数的收敛区间为，即收敛半径为4

那么，即

所以此题选。

(5)设4阶矩阵不可逆，的代数余子式，为矩阵的列向量组，为的伴随矩阵，那么的通解为〔〕

〔A〕〔B〕

〔C〕〔D〕

【答案】〔C〕

【解析】不可逆知，及；由知且线性无关〔无关组的延长组仍无关〕，故及，故的根底解系含有3个向量。由知，的列向量均为的解，故通解为。

(6)设为3阶矩阵，为的特征值对应的两个线性无关的特征向量，为的特征值的特征向量。假设存在可逆矩阵，使得，那么可为〔〕

〔A〕〔B〕

〔C〕〔D〕

【答案】〔D〕

【解析】因为为的特征值对应的两个线性无关的特征向量，故仍为特征值的两个线性无关的特征向量；因为为的特征值的特征向量，故仍为特征值的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需，就有。

(7)，那么恰好发生一个的概率为〔〕

(A).

(B).

(C).

(D).

【答案】〔D〕

【解析】

又，

(8).假设二维随机变量服从，那么以下服从标准正态分布且与独立的是〔〕

(A).

(B).

(C).

(D).

【答案】〔C〕

【解析】

由二维正态分布可知，，

，

所以，

所以与独立

二、填空题：9～14小题,每题4分,共24分．

(9)，那么_______.

【答案】

【解析】，将带入可知，

(10)曲线满足，求曲线在点处的切线方程

【答案】

【解析】在两侧同时对求导有，将带入可知，所以切线方程为

(11)设产量为，单价为,厂商本钱函数为，需求函数为，求厂商取得最大利润时的产量

【答案】

【解析】由可知，那么利润函数为

，，令可得，，此时，故取得最大利润

(12)设平面区域，那么求绕轴旋转所成旋转体的体积

【答案】

【解析】由题意列式得

(13)行列式

【答案】.

【解析】

(14)随机变量的分布律为为被3除的余数，那么

解析

三、解答题：15～23小题,共94分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(15)(此题总分值10分)设为常数，且当时，与为等价无穷小，求的值.

【解析】

①，

由于，那么，且①式，得.

(16)(此题总分值10分)求函数的极值.

【解析】，解得，.

且，，.

讨论：①对于，求得，因，那么不为极值点；

②对于，求得，因且，那么为极小值点，且极小值为.

(17)(此题总分值10分)

设函数满足，且有.

〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕设，求.

【解析】〔Ⅰ〕由得，解得，

那么，又由得，

那么.

〔Ⅱ〕

，

那么.

(18)(此题总分值10分)设区域，，

计算.

【解析】设，那么，

两边同取积分得

.

那么，

.

(19)(此题总分值10分)设函数在上具有连续导数.,.

证:(1)存在使

(2)假设对任意,,那么.

证明:(1)时,那么,显然成立.

时,不妨设在点处取得最大值.

由拉格朗日中值定理得,存在,使得;

存在,使得;

所