2024年冀教版九年级上册教学设计第28章 28.3 圆心角和圆周角.docx

第1课时圆心角

课时目标

1.理解圆心角的概念.

2.探索圆心角及其所对的弧、弦之间的相等关系.

3.会运用圆心角与所对的弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明.

学习重点

理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系.

学习难点

圆心角、弧、弦之间关系的证明.

课时活动设计

认识圆心角

圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.

想一想:判断下列各图中的角哪些是圆心角?

(1)(2)(3)(4)

解:(1)(4)所示的∠AOB是☉O的圆心角.

圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧.如图∠AOB为☉O的圆心角.圆心角∠AOB所对的弧为AB,所对的弦为AB.

设计意图:认识圆心角不仅有助于学生深入理解其概念和应用方法,还可以帮助他们更好地将其应用于实际生活和解题中.通过不断学习和探索圆心角的相关知识,可以不断提高学生的数学素养和综合能力.

探究新知

在同圆或等圆中,相等的两个圆心角所对应的两条弦是否相等,所对应的两条弧是否相等.

1.如图,在☉O中,∠AOB=∠COD.

(1)猜想弦AB,CD以及AB,CD之间各具有怎样的关系.

(2)请用图形的旋转说明你的猜想.

解:(1)猜想:AB=CD,AB=CD.

(2)说明:事实上,设∠AOC=α,将△AOB顺时针旋转α,则AO与CO重合,BO与DO重合.从而AB与CD重合,AB与CD重合.所以AB=CD,AB=CD.

如图,在等圆中,上述等量关系依然成立.

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.

2.想一想:可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?

解:不可以,如图.

设计意图:让学生通过动手操作、观察、猜想、证明、归纳得到圆心角、弦、弧之间的关系的定理,让学生经历定理的形成过程,培养学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力.

探究新知

在同圆或等圆中,若两条弦相等,则它们所对的圆心角和弧相等吗?若两条弧相等,则它们所对的弦和圆心角相等吗?

如图,(1)若AB=CD,猜想AB与CD,∠AOB与∠COD的关系.

(2)若AB=CD,猜想AB与CD,∠AOB与∠COD的关系.

猜想关系并完成以上证明.

解:(1)猜想:若AB=CD,则AB=CD,∠AOB=∠COD.

证明:∵在☉O中,OA=OB=OC=OD,

又∵AB=CD,

∴△AOB≌△COD(SSS).

∴∠AOB=∠COD.

∴AB=CD.

(2)猜想:若AB=CD,则AB=CD,∠AOB=∠COD.

证明:∵AB=CD,

将AB及∠AOB绕点O旋转至AB与CD重合.

∵AB与CD重合,

∴OA与OC重合,OB与OD重合.

∴∠AOB=∠COD.

∴AB=CD.

在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.即知一得二.

设计意图:通过小组合作学习,用类比的方法得到圆心角、弦、弧三者之间关系的推论,培养学生分析问题的能力及合作精神.运用所学知识解决问题,培养学生数学应用意识和解决问题的能力,同时让学生体会把数学语言向几何语言转化的过程.

典例精讲

例如图所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且AD=BC.求证CM=DN.

证明:如图所示,连接OC,OD.

∵AD=BC,即AC+CD=CD+BD,

∴AC=BD.

∴∠AOC=∠BOD.

在Rt△CMO和Rt△DNO中,

∵CM⊥AB,DN⊥AB,

∴∠CMO=∠DNO=90°.

又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,

∴Rt△CMO≌Rt△DNO.

∴CM=DN.

设计意图:通过例题讲解,让学生掌握并能灵活运用所学知识解决问题,培养学生正确应用所学知识的能力,增强应用意识,同时规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度,达到巩固知识的目的.

课堂小结

需要注意的是在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对应的弧也相等.对应的弧指的是同为优弧或同为劣弧(不包含半圆).

设计意图:通过小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.

课堂8分钟.

1.教材第155页习题A组第1,2题,B组第1,2题.

2.七彩作业.

第1课时圆心角

一、圆心角的概念:顶点在圆心的角.

二、圆心角、弦、弧之间的关系:

1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.

2.在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.

注意:应用定理的前提条件是在同圆或等圆中.

教学反思

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