专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【人教版】（解析版）.pdf

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练（培优强化30题）

一、解答题

1．（2021·湖北武汉·九年级期中）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜

AB+AC．

小明考虑到“三角形两边之和大于第三”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完

成证明过程；

【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°，P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC．

【拓展创新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，

则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示）．（直接写出结果）

8

【答案】问题背景：见解析；迁移应用：见解析；拓展创新：

3

【分析】问题背景：在△ABE中和△CPE中，分别利用两边之和大于第三边即可证明；

迁移应用：将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，可得△APQ是等边三角形，

则∠BAC+∠CAD＞180°，则可证明；

75

拓展创新：首先可得=，=，作BT⊥CA，交CA的延长线于T，设AT＝d，利用勾股定理得出∠ABT

33

＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，则B、A、C共线，从而解决问题．

【详解】解：【问题背景】

证明：如图1，延长BP交AC于点E，

在△ABE中，AE+AB＞BE＝BP+PE，

在△CPE中，PE+CE＞PC，

∴AB+AE+CE+PE＞PB+PE+PC，

∴AB+AC＞PB+PC，

故：PC+PB＜AB+AC；

【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，

由旋转可得：△DAQ≌△CAP，∠CAD＝∠PAQ＝60°，

∴AD＝AC，AQ＝AP，DQ＝PC，

∴△APQ是等边三角形，

∴PQ＝AP＝AQ，

∵∠BAC＞120°，

∴∠BAC+∠CAD＞180°，

∴由问题背景可知：在△BPD中，PB+PD＞AB+AD，

在△QPD中，PQ+QD＞PD，

∴PB+PQ+QD＞AB+AD，

故：PA+PB+PC＞AB+AC；

【拓展创新】解：由问题背景知，

∵a+b＝4c，6a+3b＝19c，

75

∴a＝，b＝，

33

作BT⊥CA，交CA的延长线于T，设AT＝d，

75

2+222

∴（）＝（）+c﹣d，

33

1

化简得，d＝，

2

∴∠ABT＝30°，

∴∠BAC＝120°，

将△APC绕点A逆时针旋转60°，则B、A、C共线，

∴PA+PB+PC＝PB+PP+PC，

58

∴PA+PB+PC的最小值为AB+AC＝c+＝，

33

8

故答案为：．

3

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角

形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度．

2．（2022·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图，在边长为8的等边△AB