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第一章集合与函数概念

一、集合

1、集合的含义与表示

一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。

⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，则任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市〞构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人〞不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。

⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不一样的(或说是互异的)，即，集合中的元素是不重复出现的。一样元素、重复元素，不管多少，只能算作该集合的一个元素。

⑶无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全一样，就认为是同一个集合。

3、集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

4、元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作。

5、常见的数集及记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集〔或自然数集〕，记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集〔在自然数集中排除0的集合〕，记N*或；全体整数组成的集合称为整数集，记Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q；全体实数组成的集合称为实数集，记R。

拓展与提示：

拓展与提示：⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。

⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集，而N为非负整数集，即0∈N但0N*。

⑶集合的分类按元素个数

按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。

特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集〔〕，只含有一个元素的集合叫做单元素集。

例

解析①②

解①得1这与集合中元素的互异性相矛盾。

解②得-1或1(舍去)

这时0

∴-1，0

6、集合的表示方法

⑴列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“〞括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：，其中x为元素，p(x)表示特征。

拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，

拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，则x∈D可以省略，只写其元素x，如可以表示为。

(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。

例用适当的方法表示以下集合，并指出它是有限集还是无限集：

⑴由所有非负奇数组成的集合；

⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；

⑶方程x21=0的实数根组成的集合。

解：⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：，无限集。

⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：，无限集。

⑶方程x21=0的判别式的Δ0，故无实数，方程x21=0的实根组成的集合是空集。

7、集合的根本关系

⑴子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B〞(或“B包含A〞)。可简述为：假设，则集合A是集合B的子集。

⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作。

数学表述法可描述为：对于集合A、B，假设，且，则集合A、B相等。

⑶真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作或说：假设集合，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。

⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

拓展与提示：(1)

拓展与提示：(1)。(2)B(其中B为非空集合)(3)对于集合A，B，C，假设。(4)对于集合A，B，C，假设，C则C(5)对于集合A，B，假设。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有21个，非空子集有21个，非空真子集有22个。(7)不同，前者为包含关系，后者为属于关系。

8、集合间的根本运算

拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。⑴并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作

拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);

(3);(4)。

拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合