专题突破卷13 等差数列中Sn的最值问题（解析版）.docx

专题突破卷13等差数列中Sn的最值问题

题型一：二次函数法求等差数列前n项和的最值

1．已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（???）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】先判断an是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值.

【详解】由可知，数列an是等差数列，公差，

由，解得．

则

故当取得最小值时，的值是6．

故选：A．

2．已知等差数列an的前项和为，，且，则取最大值时，（?????）．

A．9 B．10 C．9或10 D．10或11

【答案】C

【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列an是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.

【详解】设等差数列an的公差为，

由等差数列前项和公式，

得：，，

又，

，

即，

又，

，

由此可知，数列an

点在开口向下的抛物线上，

又，

点与点关于直线对称，

当或时，最大.

故选：C

3．已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（????）

A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

【答案】A

【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可.

【详解】易得该等差数列首项为负，公差为正，

故该数列的前n项和，

故当或时取得最小值，无最大值.

故选：A

4．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的个数是（）

（1）（2）（3）（4）的最小值为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】本题根据题干条件等式求出其前项和的等式，然后作差即可求出的表达式，然后根据等差数列的前n项和及其性质逐项解决问题.

【详解】因为①，

所以②，且，

①②两式相减得：，满足上式，

所以，所以（1）正确；

因为，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，所以（2）错误；

因为，

，

所以，所以（3）正确；

因为，

下面考察函数的图像（如图所示），

可知函数有最低点且在时取最小值，

由于，，所以当或者取得最小值，

即，所以（4）正确.

综上得，（1）（3）（4）正确.

故选：C.

5．已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（????）

A．若，则取最小值时的值为12

B．若，则的最大值为108

C．若，则必有

D．若首项，，则取最小值时的值为9

【答案】D

【分析】对于AB，利用等差数列求和公式求出，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用求得，利用数列单调性判断的最值即可.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，

所以当时，取得最小值，正确；

对于B，因为，所以，

所以，

所以当或时，取得最大值为，正确；

对于C，若，则，又，

所以，所以，正确；

对于D，若，则，

又，所以，所以，

所以等差数列an为递减数列，所以，

所以取最大值时的值为9，错误.

故选：D

6．设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（????）

A．6 B．7 C．6或7 D．8

【答案】A

【分析】根据条件得，从而得出，即可求出结果.

【详解】因为数列为等差数列，设数列的公差为，

又，，则①，②，

由①②解得，所以，

当时，取最小值为，

故选：A.

7．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题：

①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；

②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；

下列说法正确的是（????）．

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②真命题

C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题

【答案】C

【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断.

【详解】对于①：，

若，则，所以①正确；

对于②：设等差数列的公差为，

则，所以，

即为公差为的等差数列，

若为和谐数列，即，则，

所以关于的二次函数，开口向上，

所以在上一定存在最小值，所以②正确；

故选：C

8．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（????）

①若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；

②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.

A．①假命题，②真命题 B．①假命题，②假命题

C．①真命题，②假命题 D．①真命题，②真命题

【答案】D

【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.

【详解】对于①：设等差数列的公差为，

则，所以，

即为公差为的等差数列，

若为和谐数列，则，

即，则，

所以关于的