专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型（解析版）.docxVIP

专题33圆中的重要模型之圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

结论：。

例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是．

??

【答案】

【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解．

【详解】解：如图，连接，设交于点，

??

∵是的直径，，，，

在中，，

，，，

设则，，，，

中，，

，，

又，，，，，

，，，解得，

，故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．

【答案】(1)见解析(2)

【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；

（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出代入相关数据可求出，从而可求出绪论．

【详解】（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；

（2）∵△是等边三角形，∴

∵，∴∴

∵∴，∴∴

连接如图，∵∴∴∠

又∠，∴△∴，

∴

∴，∴（负值舍去）∴，解得，

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．

例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：．

证明：如图1，连接．

∵，．∴，（根据）

∴@，∴，

∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．

(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．

【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2)

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则，，根据（1）中结论代入求解即可．

【详解】（1）连接．∵，．

∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似）

∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；

（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，

设圆O的半径为rcm，则，，

根据（1）中结论得，即为，

解得：或（不符合题意，舍去），的半径为．

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．

模型2.双割线模型

条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。

结论：

例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则=.

例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为．

【答案】

【分析】延长交圆于点D，连接、，由圆内接四边形内对角互补性质可得，结合邻补角互补可得，继而证明，由相似三角形对应边成比例解得，由此计算，最后根据线段的和差解题即可．

【详解】如图，延长交圆于点D，连接、，

四边形为圆内接四边形，∴．

∵，∴，∵，∴，

∴，∴，，

∵，∴，∴半径为，故答案为：．

【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．

已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．

求证：．

证明一：连接、，

∵和为所对的圆周角