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专题33圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理,是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。圆幂定理的用法:可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型
条件:在圆O中,弦AB与弦CD交于点E,点E在圆O内。
结论:。
例1.(2023·江苏无锡·校联考三模)如图,点,,,在上,,.若,,则的长是.
??
【答案】
【分析】如图,连接,设交于点,根据题意可得是的直径,,设,证明,根据相似三角形的性质以及正切的定义,分别表示出,根据,勾股定理求得,根据即可求解.
【详解】解:如图,连接,设交于点,
??
∵是的直径,,,,
在中,,
,,,
设则,,,,
中,,
,,
又,,,,,
,,,解得,
,故答案为:.
【点睛】本题考查了圆周角所对的弦是直径,同弧所对的圆周角相等,正切的定义,相似三角形的性质与判定,勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.
例2.(2023·山东济宁一模)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O,点D为AC上的动点(点A、C除外),BD的延长线交⊙O于点E,连接CE.(1)求证;(2)当时,求CE的长.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】(1)根据同弧所对圆周角相等可得,再由对顶角相等得,故可证明绪论;
(2)根据可得由可得出连接AE,可证明,得出代入相关数据可求出,从而可求出绪论.
【详解】(1)∵所对的圆周角是,∴,又,∴;
(2)∵△是等边三角形,∴
∵,∴∴
∵∴,∴∴
连接如图,∵∴∴∠
又∠,∴△∴,
∴
∴,∴(负值舍去)∴,解得,
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,相似三角形和判定与性质,正确作出辅助线是解答本题的关键.
例3.(2023·江西宜春·统考模拟预测)阅读与思考:九年级学生小刚喜欢看书,他在学习了圆后,在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等),下面是书上的证明过程,请仔细阅读,并完成相应的任务.
圆的两条弦相交,这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.
已知:如图1,的两弦相交于点P.求证:.
证明:如图1,连接.
∵,.∴,(根据)
∴@,∴,
∴两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
任务:(1)请将上述证明过程补充完整.根据:____________;@:____________.
(2)小刚又看到一道课后习题,如图2,AB是的弦,P是上一点,,,,求的半径.
【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似;;(2)
【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可;(2)延长交圆O于点D,延长交圆O于点F,设圆O的半径为rcm,则,,根据(1)中结论代入求解即可.
【详解】(1)连接.∵,.
∴,(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴,∴,∴两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.
故答案为:有两个角对应相等的两个三角形相似;;
(2)延长交圆O于点D,延长交圆O于点F,
设圆O的半径为rcm,则,,
根据(1)中结论得,即为,
解得:或(不符合题意,舍去),的半径为.
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质,圆的相交弦定理等,理解题意,熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键.
模型2.双割线模型
条件:如图,割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论:
例1.(2023·辽宁葫芦岛·一模)已知:如图,、是⊙的割线,,,.则=.
例2.(2023·四川成都·九年级校考阶段练习)如图,为的割线,且,交于点C,若,则的半径的长为.
【答案】
【分析】延长交圆于点D,连接、,由圆内接四边形内对角互补性质可得,结合邻补角互补可得,继而证明,由相似三角形对应边成比例解得,由此计算,最后根据线段的和差解题即可.
【详解】如图,延长交圆于点D,连接、,
四边形为圆内接四边形,∴.
∵,∴,∵,∴,
∴,∴,,
∵,∴,∴半径为,故答案为:.
【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
例3.(2022·河南洛阳·统考一模)我们知道,直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离.当直线与圆有两个公共点(即直线与圆相交)时,这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如,割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理“证明一”,请补充完整.
已知:如图①,过外一点作的两条割线,一条交于、点,另一条交于、点.
求证:.
证明一:连接、,
∵和为所对的圆周角
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