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专题02圆的方程11种常见考法归类
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求圆的方程
考点二、点和圆的位置关系
考点三、直线和圆的位置关系
考点四、圆的弦长问题
考点五、圆的切线问题
考点六、判断圆与圆的位置关系
考点七、由圆的位置关系确定参数范围
考点八、圆的公共弦
考点九、圆的公切线
考点十、圆的轨迹问题
考点十一、与圆有关的最值问题
知识点1圆的标准方程
1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
2.圆的要素:是圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.如图所示.
3.圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆.
知识点2点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r?点在圆外;d=r?点在圆上;d<r?点在圆内.
(2)根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2?点在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2?点在圆内.
知识点3圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
注:将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(D,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(E,2)))2=eq\f(D2+E2-4F,4),当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))),半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F).
注:圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二次方程,圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:
(1)x2,y2项的系数均为1;
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
3.常见圆的方程的设法
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2+y2=r2
x2+y2-r2=0
过原点
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上
(x-a)2+y2=r2
x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上
x2+(y-b)2=r2
x2+y2+Ey+F=0
与x轴相切
(x-a)2+(y-b)2=b2
x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)D2=0
与y轴相切
(x-a)2+(y-b)2=a2
x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)E2=0
4.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A=C≠0,,B=0,,D2+E2-4AF0.))
5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
知识点4直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
图示
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
注:直线与圆的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
几何法:设圆心到直线的距离d=eq\f(|Aa+Bb+C|,\r(A2+B2))
d<r
d=r
d>r
代数法:
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax+By+C=0,,?x-a?2+?y-b?2=r2))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
知识点5直线与圆相交
1.解决圆的弦长问题的方法
几何法
(常用)
如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2eq\r(r2-d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|=eq\r(1+k2)·eq\r(?xA+xB?2-4xAxB)=eq\r(1+\f(1,k2))·|yA-yB|(其中k≠0).特别地,当k=0时,
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