专题02 圆的方程11种常见考法归类（原卷版）.docxVIP

专题02圆的方程11种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、求圆的方程

考点二、点和圆的位置关系

考点三、直线和圆的位置关系

考点四、圆的弦长问题

考点五、圆的切线问题

考点六、判断圆与圆的位置关系

考点七、由圆的位置关系确定参数范围

考点八、圆的公共弦

考点九、圆的公切线

考点十、圆的轨迹问题

考点十一、与圆有关的最值问题

知识点1圆的标准方程

1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．

知识点2点与圆的位置关系

(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r?点在圆外；d＝r?点在圆上；d＜r?点在圆内．

(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外；

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上；

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内．

知识点3圆的一般方程

1．圆的一般方程的概念

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).

注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F＞0.

3．常见圆的方程的设法

标准方程的设法

一般方程的设法

圆心在原点

x2＋y2＝r2

x2＋y2－r2＝0

过原点

(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2

x2＋y2＋Dx＋Ey＝0

圆心在x轴上

(x－a)2＋y2＝r2

x2＋y2＋Dx＋F＝0

圆心在y轴上

x2＋(y－b)2＝r2

x2＋y2＋Ey＋F＝0

与x轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝b2

x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0

与y轴相切

(x－a)2＋(y－b)2＝a2

x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝0

4.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF0.))

5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

知识点4直线与圆的三种位置关系

位置关系

交点个数

图示

相交

有两个公共点

相切

只有一个公共点

相离

没有公共点

注：直线与圆的位置关系及判断

位置关系

相交

相切

相离

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

d＜r

d＝r

d＞r

代数法：

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2))

消元得到一元二次方程的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

知识点5直线与圆相交

1．解决圆的弦长问题的方法

几何法

（常用）

如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)

代数法

若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?xA＋xB?2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，