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15.1.4Legendre多项式的Schlaf（施列负利）积分表达式15.1.3Rodrigues公式-----Legendre多项式的微分形式此即Legendre多项式的微分形式，也称为Rodrigues洛德里格斯公式为讨论问题和计算上的方便，常将Legendre多项式写成如下的形式（旋氏积分）设故若取为圆周,圆心在，半径为则在上，有从而令得-----Laplace积分15.2Legendre多项式的母函数及递推公式Legendre多项式有一系列有用的递推公式，如：1.2.3.4.5.讨论Fourier级数时，一个三角函数序列的正交性和归一性是使它成为一个坐标函数系的两个重要性质，同样要讨论一类函数按Legendre多项式展开问题时，也要考虑Legendre多项式的正交性和归一性。15.3按Legendre多项式展开一、Legendre多项式的正交性则称函数系在上是正交的，或称在上的函数系是正交函数系。设函数系，使得如Fourier级数中在上是正交函数系。按以上三角函数系具有正交性外，还有许多其它函数系也具有正交性。如Legendre函数系、Bassel函数系等。定理：Legendre多项式系是上的正交函数系，即当时,－－－正交性;－－－归一性当时,称为阶Legendre多项式的模数称为的归一因子。Legendre多项式乘上归一化因子后，得一个在区间上的标准正交函数系。二、展开定理1.Legendre级数形如的级数称为Legendre级数其中是常数。2.展开定理由于Legendre多项式系是上的正交函数系，考虑定义在上的函数展开成Legendre级数的问题。定理：设函数在区间上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则在上可以展开成绝对且一致收敛的级数.其中称为函数关于函数系的Legendre级数。一、连带Legendre多项式球坐标系下调和函数和无关，则通过分离变量法引出Legendre方程。一般若调和函数和有关，则分离变量的结果将导致连带Legendre微分方程.15.4连带Legendre多项式其中是非负整数，是非负整数。直接求其解较繁杂，于是采用如下方法求解：令若求出，则就是它的解.代入连带Legendre方程得满足方程为：该方程恰为Legendre方程求导次的结果。对方程求导：连续求次导：即的阶导数就是关于的方程的一个解，故函数是Legendre方程的一个解。记：并称为连带Legendre多项式若则若则下面给出前6个连带Legendre多项式：二、连带Legendre多项式正交性和归一性该多项式称为次的Legendre多项式（或称为第一类阶Legendre函数），Legendre多项式也称为第一类Legendre函数。15.5Legendre多项式在分离变量法中的应用---Laplace方程球形域上的Dirichlat问题Laplace方程球形域上Dirichlat问题的解球形域上Laplac
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